【附加15套高考模拟试卷】湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期第四次月考数学(理)试题含答案

)b???xi?1n1?xy1?yx1?x?????i?1n?2),a?y?bx.

1119.已知f?x?是定义在R上的奇函数,当x>0时,f?x??x3?ax?a?R?,且曲线f?x?在x?处的切

323线与直线y??x?1平行.

4(Ⅰ)求a的值及函数f?x?的解析式;

(Ⅱ)若函数y?f?x??m在区间??3,3?上有三个零点,求实数m的取值范围.

??20.设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,且满足2Sn?an?1?n?N??. (Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)若bn??an?1??2n,求数列?bn?的前n项和Tn. 21.已知函数f?x??aex?x?a?R?,其中e为自然对数的底数,e?2.71828…. (Ⅰ)判断函数f?x?的单调性,并说明理由;

(Ⅱ)若x??1,2?,不等式f?x?≥e?x恒成立,求a的取值范围. 22.选修4-4:坐标系与参数方程

??xx???x?3?3cos??3在平面直角坐标系中,曲线C1:?(?为参数)经过伸缩变换?,后的曲线为C2,以坐

yy?2sin???y????2标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C2的极坐标方程;

???(Ⅱ)设曲线C3的极坐标方程为?sin?????1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求PQ的值.

6??23.选修4-5:不等式选讲

已知函数f?x??x?b2??x?1,g?x??x?a2?c2?x?2b2,其中a,b,c均为正实数,且

ab?bc?ac?1.

(Ⅰ)当b?1时,求不等式f?x?≥1的解集;(Ⅱ)当x?R时,求证f?x?≤g?x?.

一模数学(理)答案: 一、1-12:CDBAB ACCCD BB 二、 13、10. 14、

1. 315、(?5,0). 16、②③④ 三、

17、(Ⅰ)首先利用正弦定理将已知条件等式中的边化为角,然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得cosC的值,从而求得角C的大小;(Ⅱ)首先结合(Ⅰ)得到角B与角A间的关系,然后利用两角和与差的正弦与余弦公式将sinAcosB化为关于角A的关系式,由此求得其取值范围. 试题解析:(Ⅰ)因为?2a?b?cosC?ccosB?0,所以2acosC???bcosC?ccosB?, 由正弦定理得2sinAcosC???sinBcosC?sinCcosB???sin?B?C???sinA,

1因为在?ABC中sinA?0,所以cosC??,

21(以上也可这样解:由bcosC?ccosB?a,所以2acosC??a,所以cosC??)

22?所以C?.

3?????(Ⅱ)由(Ⅰ)知A?B?,所以B??A?0<A<?,

33?3??1?3???cosA?sinA所以sinAcosB?sinAcos??A??sinA? ???322????1331???3, ?sin2A??cos2A?sin?2A???4442?3?4????31???3因为0<A<,所以?<2A?<,此时?<sin?2A??<,

42343333??1???33则0<sin?2A???, <2?3?42?3?0,所以sinAcosB的取值范围为??2??. ??

$,18、(Ⅰ)首先根据表格与公式求得相关数据,然后代入线性回归方程求得a由此求得线性回归方程;(Ⅱ)

将x?15代入(Ⅰ)中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高. 试题解析:(Ⅰ)由题意得x?1?7?8?9?10?11?12?13??10, 7y?1?121?128?135?141?148?154?160??141. 7xi?xi??i?17i?17?2?9?4?1?0?1?4?9?28,

??x?xyi?y???3????20????2????13????1????6??0?0?1?7?2?13?3?19?182,

????)?所以b?i?1?x?x??y?y?ii??x?x?ii?1?2?)1318213$?,a?y?bx?141??10?76,

2282)13所求回归方程为y?x?76.

2)13(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b?>0,

2故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高,平均每年增高6.5cm.

)13将x?15代入(Ⅰ)中的回归方程,得y??15?76?173.5,

2故预测张三同学15岁的身高为173.5cm.

19、(Ⅰ)首先求得导函数,然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值,由此求得函数

f(x)的解析式;(Ⅱ)将问题转化为函数f(x)的图象与y?m有三个公共点,由此结合图象求得m的取

值范围.

试题解析:(Ⅰ)当x>0时,f??x??x2?a,

13处的切线与直线y??x?1平行, 243?1?1所以f?????a??,解得a??1,

4?2?4因为曲线f?x?在x?所以f?x??13x?x. 322,f?1???,f33(Ⅱ)由(Ⅰ)知f??3???6,f??1???3??0,

?上有三个零点, 所以函数y?f?x??m在区间???3,3??上的图象与y?m有三个公共点. 等价于函数f?x?在???3,3?2??上大致图象可知,实数m的取值范围是?结合函数f?x?在区间??,0?. ?3,3????3?20、(Ⅰ)首先利用Sn与an的关系结合已知条件等式推出数列{an}是等差数列,由此求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ)首先结合(Ⅰ)求得bn的表达式,然后利用错位相减法求解即可.

试题解析:(Ⅰ)当n?1时,有2a1?a1?1,解得a1?1;

22?2an?1,4Sn?1?an当n≥2时,由2Sn?an?1得4Sn?an?1?2an?1?1,

22?an两式相减得4an?an?1?2?an?an?1?,

所以?an?an?1??an?an?1?2??0,

因为数列?an?的各项为正,所以an?an?1?2?0, 所以数列?an?是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以数列?an?的通项公式为an?2n?1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn??an?1??2an?2n?22n?1?n?22n?n?4n. 所以Tn?1?4?2?42?3?43?L?n?4n,

4Tn?1?42?2?43?3?44?L??n?1??4n?n?4n?1,

两式相减得?3Tn?4?42?43?L?4n?n?4n?1?所以Tn?

4?1?4n?1?44?1??n?4n?1?????n??4n?1,

3?3?43n?1n?1??4. 9921、(Ⅰ)首先求出导函数,然后分a≤0、a>0求得函数的单调区间;(Ⅱ)首先将问题转化为x??1,2?,1?xex1?xexa≥2x恒成立,由此令g?x??2x,然后通过求导研究其单调性并求得其最大值,从而求得a的取

ee值范围.

试题解析:(Ⅰ)由题可知,f?x??aex?x,则f??x??aex?1, (i)当a≤0时,f??x?<0,函数f?x??aex?x为R上的减函数, (ii)当a>0时,令aex?1?0,得x??lna,

①若x????,?lna?,则f??x?<0,此时函数f?x?为单调递减函数; ②若x???lna,???,则f??x?>0,此时函数f?x?为单调递增函数. (Ⅱ)由题意,问题等价于x??1,2?,不等式aex?x≥e?x恒成立, 1?xex即x??1,2?,a≥2x恒成立,

e1?xex令g?x??2x,则问题等价于a不小于函数g?x?在?1,2?上的最大值.

e由g??x???1?xe?ex?2x?21?xexe2x??e4x??1?x?ex?2,

e2x

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