湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期第四次月考数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
2．从n个正整数1,2,???,n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于7的概率为A．10
B．9
C．8
D．7
1 ,则n?（ ） 15y2x23．已知双曲线E：2﹣2=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，
baP关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（ ） A．2 B．3 C．2
D．5 4．已知函数f?x??sin?2ωx?φ?(ω?0,φ?0)的最小正周期为π，且f?x??f?为（ ）
?π??，则φ的最小值4??ππA．4 B．2 C．π D．2π
5．如图，阴影表示的平面区域W是由曲线x?y?0，x?y?2所围成的. 若点P(x,y)在W内（含边界），则z?4x?3y的最大值和最小值分别为( )
22
A．52，?7 6．函数 y?B．52，?52 C．7，?52 D．7，?7
2?x,x?(m,n]的最小值为0，则m的取值范围是( ) x?1A．(1，2) C．[1，2)
D．[－1，2)
B．(－1，2)
7．下列函数中，既是偶函数又在?0,???上单调递减的是（ ）
A．
f?x??ex B．
f?x??x?12x C．f?x??lgx D．f?x???x
8．已知正六边形ABCDEF中，G是线段AF的中点，则CG?（ ）
uuurr3uuur5uuuA．CE?DA
84r2uuurr5uuur5uuu2uuuCE?DACE?DA6336C． D．
9．若由函数y?sin?2x?r5uuur3uuuB．CE?DA
48????2??的图像变换得到y?sin??x????的图像，则可以通过以下两个步骤完成:23??第一步，把y?sin?2x?图像沿x轴（ ） A．向右移
?????图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得2??个单位 3B．向右平移
5?个单位 125??C．向左平移3个单位 D．同左平移12个单位
10．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A．
A62A72 B．
32A4A7 C．
322A3A6A7 D．
362A4A6A7
2，x1，x2…xn不全相等）的散点图中，若11．在一组样本数据?x1,y1?，?x2,y2?，…，?xn,yn?（n…x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） 所有样本点?xi,yi?(i?1,2,L,n)都在直线y=?3?A．-3
B．0
C．-1
D．1
12．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ）
A．30种 B．40种 C．42种 D．48种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设等差数列
?an?的公差为d，若a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7的方差为1，则d=________．
14．已知圆锥的底面直径为3，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．
11?()n?n?N*,1?n?5?215．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有五个数字，
现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.甲看了看自己手
中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大.假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是______．
16．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角?满足tan??的概率是_______.
3，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内4
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12S=（3n-n）nbn?an?a1?2an?1?an?2Sn??n217．（12分）设数列 满足 ， ；数列的前 项和为 ，且
n求数列
?an?和?bn?的通项公式；若cn?anbn ，求数列?cn? 的前n 项和Tn ．
18．（12分）如图所示，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，侧面SBC是边长为2的等边三角形，E为SB的中点.
证明：SDP平面AEC；若侧面SBC?底面ABCD，求斜线AE与平面SBD所
成角的正弦值.
??x?3?2cos???y?1?2sin?（?为参数）xOy19．（12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程为?，以直角坐标系的
原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求圆C的极坐标方程；设曲线1的极坐标方程为
l???6(??0)，曲线的极坐标方程为
l2???3(??0)，求三条曲线C，1，2所围成图形的面积.
ll20．（12分）网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就
业问题.据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、
30?单位：km?，它们出现的概率依次是0.1、0.2、0.3、0.1、t、2t．求
这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，租车费为5元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差． 21．（12分）如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且
?BAD?60o,EA?ED?AB?2EF?4，EFPAB,M为BC的中点.
求证：FM∥平面BDE；若平面ADE?平面ABCD，求三棱锥
F?BDE的体积．
22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，
?PAD??DAC?60?，CE?AD与E.
求证：AD?PC；若平面PAD?平面ABCD，且AD=3，求二面角
C-PD-A的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．C 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。