^②Var(b0)=?^2?Xn?x2i2i2i
Var(b1)=?2?x
????e2in?2参数估计量具有线性、无偏性和最小方差性。 ⒏
离差名称 回归 剩余 总计
平方和 自由度 2平方和的平均值 ESS??(y?RSS??(yi?y) 1 ESS1 RSS ?i)i?y2n?2 n?2 TSS?ESS?RSS n?1 ????0???1Xi ⒐证明：设Yi????Y ???Xi01i以上两个方程的OLS估计量分别为：
?1??与
?(X?X)(Y?Y)
?(X?X)ii2i???1于是
?(X?X)(Y?Y)
?(Y?Y)ii2i???1??1?(X[?(Xi?X)(Yi?Y)]2i?X)2?(Yi?Y)2?R2?1
?1?所以，?1即两斜率互为倒数。 ??1⒑证明：?SX??(Xi?X)2n?1ii,SY??(Yi?Y)22n?1i
?SX???SY?(X?X)(Y?Y)??(X?X)n?1?(X?X)?(X?X)(Y?Y)??(X?X)??(Y?Y)2iii2ii?
n?1 2?(Yi?Y)2?r
⒒证明：①??i满足所有的基本假定
?E(Yi)??Xi
11?E(Y)?E(?Yi)????Xi??X nnE(Yi?Y)??Xi??X??(Xi?X)?)?E(YX)??XX?? ?E(?1XYXE(Y)??X???E(?)?E()????
XXX???(X?X)(Y?Y)(X?X)E(Y?Y)??(X?X)???E(?)?E[]??(X?X)(X?X)???(X?X)ii2iii2i22i2iii2iii3222??
iii即三个估计量都是?的无偏估计量。
②?Var(Yi)?Var(?Xi??i)?Var(?i)??2
Var(Yi)1n?2?2?? ?Var(?1)?Var(YX)?Var(?YiX)??22?222nnXnXnX2XX?2?i222i?Var(?2)?Var(?XiYi?Xi)??[]Var(Yi)???? 2222X(X)X?i?i?i?)?Var[?(Xi?X)(Yi?Y)]Var(?3?(Xi?X)2(X??Var[?(Xii?X)Yi(Xi?X)2]?[?(X?X)2]Var(Yi)??X)2?i?2?(Xi?X)2
?的方差最小。 比较三者大小，容易得出估计量?2
第四章 多元线性回归模型
本章练习题解答
⒈⑴C ⑵D ⑶D ⑷C ⑸B ⑹B ⑺D ⑻B ⑼C ⑽A ⑾A ⑿D ⒀B ⒁C ⒉⑴BCD ⑵ACDE ⑶BCD ⑷AD ⑸BC ⑹ACDE ⑺ABCDE
⒊用于检验回归方程各个参数的显著性，是单一检验；而F检验则被用作检验整个回归关系的显著性，是对回归参数的联合检验。在多元线性回归中，若F检验拒绝原假设，意味着解释变量与被解释变量之间线性关系是显著的，但具体是哪个解释变量与被解释变量之间关系显著则需要通过t检验来进一步验证，但若F检验接受原假设，则意味着所有的t检验均不显著。在一元线性回归模型中，由于解释变量只有一个，因此F检验的联合假设等同于t检验的单一假设，两检验作用是等价的。 ⒋答：由于模型中四个解释变量之和为168小时是固定的，因此当一个解释变量发生变化时，至少有另一个变量也要发生变化才能维持总和不变，因而，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是毫无意义的。
如上所述，X1?X2?X3?X4?168,说明四个解释变量存在完全的线性关系，因此违背了不存在完全多重共线性的假定。
可以考虑去掉其中的一个解释变量，如去掉第四个解释变量X4，用剩下的三个变量作为解释变量进行回归分析，这样就不会存在完全多重共线性的问题，因而也就可以在保持其他变量不变的情况下，用其中一个解释变量对一学期平均成绩的影响进行解释了。
⒌解：①根据最小二乘原理，为求参数估计量，需使残差平方和最小：
?X???X)2 min?ei2??(Yi??11i22i?与??分别求偏导，并令偏导值为0，得如下正规方程组： 根据微积分知识，对上式?12?(Y???X?(Y???Xi1i11i1i?X)X?0 ??22i1i?X)X?0 ??22i2i即
2???1?X1i??2?X1iX2i??X1iYi
???1?X1iX2i??2?X2i??X2iYi
2解之得：
???1??2?X?X?(?XX)(?XY)(?X)?(?XX)(?X??X?X?(?XX)21i22i21i2i2ii21i1i2i21i22i21i2i2(?X1iYi)(?X2i)?(?X1iX2i)(?X2iYi)
1iiY)
②由①中的正规方程组知，对该模型，仍有
?eXi1i?0,?eiX2i?0
但不存在
?ei?0,即由原点的线性方程，残差和不一定为零。
r12r22r32r13??r23?；（其中r表示解释变量的简单相关系数） r33??3?3?r11?⒍?R??r21?r?31又：r11?r22?r33?1；r12?r21?0.9894；r13?r31?0.9918；r23?r32?0.9864
0.98940.9918??1??10.9864? ?R??0.9894?0.99180.98641???⒎证明：
ESSkF??RSSn?k?1?(Y??Y)??[(?????X)?(?????X)]?en?2?en?22i01i012i2i2
?2(X?X)2?1?i??2?2????2?1?(Xi?X)2?[??1S??1]2?t2
⒏解：①该方程组的矩阵向量形式为：
???3???121?????1???????9?
?251???2??116?????8??????3???????121??1?3??3????1???????????251??9???1? ??2?????????????3??116???8???2?TSS?RSSY?Y???X?Y53?3?3?1?9?2?8?2????1.9 ②?n?kn?k13?3?的方差-协方差矩阵为： ③??)???2(X?X)?1Var?Cov(??121????1.9??251??116????1?6.525?2.475?0.675??????2.4751.1250.225? ??0.6750.2250.619???⒐解：①由数理统计学易知：
??2??)?Var(??)?4Cov(??,??)?4Var(??) Var(?121122②由数理统计学易知：
??2???1?12 t???se(?1?2?2)③由?1?2?2??知?1?2?2??，代入原模型得：
Y??0?(??2?2)X1??2X2??3X3?? ??0??X1??2(2X1?X2)??3X3??
这就是所需的模型，其中?估计值??及其标准差都能通过对该模型进行估计得到。 ⒑解：①n?d.f.?1?14?1?15
②RSS?TSS?ESS?66042?65965?77
ESS65965??0.9988 TSS66042n?115?1?1?(1?0.9988)?0.9986 ?R2?1?(1?R2)n?k?115?2?1③?R?2