2020年九年级数学中考三轮冲刺复习:《四边形综合训练》(含解析)

20.如图1,在三角形△ABC中,BA=BC,△ADC和△ABC关于AC对称

(1)将图1中的△ACD以A为旋转中心,逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如 图2所示的△AC′D,分别延长BC和DC′交于点E,则四边形ACEC′的形状是 菱形 ;(2)将图1中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=2∠BAC,得到如图3所示的△AC′D,连接DB和CC′,得到四边形BCC′D,请判断四边形BCC′D的形状,并说明理由; BC=(3)如图3中,

AC=10,,将△AC′D沿着射线DB方向平移a,得到△A′C″D′,

進接BD′,CC″,使四边形BCC″D′恰好为正方形,请直接写出a的值.

解:(1)∵△△ADC和△△ABC关于AC对称,

∴DC=BC,DA=AB,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA, ∵BA=BC,

∴DC=BC=DA=AB,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,

∵△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到△AC′D, ∴∠CAC′=∠BAC=∠AC′D=∠BCA, ∴AC∥DE,AC′∥BE, ∴四边形ACEC′是平行四边形,

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由旋转可得:AC=AC′, ∴四边形ACEC′是菱形, 故答案为:菱形;

(2)四边形BCC′D是矩形;理由如下:过点A作AE⊥C′C于点E,如图3所示: 由旋转的性质,得AC′=AC,

∴∠CAE=∠C′AE=α=∠ABC,∠AEC=90°, ∵BA=BC, ∴∠BCA=∠BAC ∴∠CAE=∠BCA, ∴AE∥BC. 同理,AE∥DC′, ∴BC∥DC′, ∵BC=DC′,

∴四边形BCC′D是平行四边形, ∵AE∥BC,∠AEC′=90°, ∴∠BCC′=90°, ∴四边形BCC′D是矩形; (3)过点B作BF⊥AC于F, ∵BA=BC,

∴CF=AF=AC=×10=5, 在Rt△BCF中,BF=10,

∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90°, ∴△ACE∽△CBF, ∴=, 即

, 解得:EC=4

∵AC=AC′,AE⊥CC′, ∴CC′=2CE=2×

4=8

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