2020年九年级数学中考三轮冲刺复习:《四边形综合训练》(含解析)

解:(1)

∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC,

由折叠知,∠BAC=∠B'AC, ∴∠B'AC=∠DAC, ∴AM=CM

∴△MAC是等腰三角形, 故答案为:等腰三角形; (2)菱形,

理由:如图3,连接AE,CF,设EF与AC的交点为M,

由折叠知,∠AME=∠CME=90°,AM=CM, ∴AE=CE,AF=CF, ∵四边形ABCD是矩形,

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∴EC∥AF,

∴∠ECM=∠FAM,∠CEM=∠AFM, ∴△ECM≌△FAM(AAS), ∴EC=FA,

∴AE=EC=FC=FA,

∴以点A,F,C,E为顶点的四边形是菱形; (3)∵AD=8cm,AB=6cm, ∴BD=

=10cm

由(1)可知BG=GD, ∵BG2=AB2+AG2, ∴BG2=36+(8﹣BG)2, ∴BG=

cm

∴AG=cm

由折叠的性质可得AM=MD=4cm,EM⊥AD ∵∠BAD=∠BC'D=90°,∠AGB=∠C'GD ∴∠ABG=∠C'DG,且∠BAG=∠EMD=90°∴△ABG∽△EMD ∴

∴EM=cm 故答案为:

17.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB<BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③),图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.

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(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与OC重合),BN、CN、CD这三CN2=BN2+CD2,条线段之间存在一定的数量关系:请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由;

(2)在图③中(三角板一直角边与OD重合),试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系,直接写出你的结论.

(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由.

(1)证明:连结AN,

∵矩形ABCD

∴AO=CO,∠ABN=90°,AB=CD, ∵ON⊥AC, ∴NA=NC, ∵∠ABN=90°, ∴NA2=BN2+AB2, ∴CN2=BN2+CD2.

(2)如图2,连接DN.

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∵四边形ABCD是矩形, ∴BO=DO,∠DCN=90°, ∵ON⊥BD, ∴NB=ND, ∵∠DCN=90°, ∴ND2=NC2+CD2, ∴BN2=NC2+CD2.

(3)CM2+CN2=DM2+BN2 理由如下:延长MO交AB于E,

∵矩形ABCD,

∴BO=DO,∠ABC=∠DCB=90°,AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∠BEO=∠DMO, ∴△BEO≌△DMO(AAS), ∴OE=OM,BE=DM, ∵NO⊥EM, ∴NE=NM,

∵∠ABC=∠DCB=90°,

∴NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM2, ∴CN2+CM2=BE2+BN2 ,

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