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习题三十二 微分方程的幂级数解法
一、试用幂级数求y??xy?x?1的通解。
二、试用幂级数求y??y2?x3,y1x?0?2的特解。 141
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第十二章 自 测 题
一、填空题：
1、方程y???4y??13?0通解为_________________________________。 2、以y?4e?3e为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 _________________________________。 二、单项选择题：
2x?xd2y1、函数 y?C?sinx(其中C是任意常数)是方程?sinx的（ ）。
dx2 A、通解； B、特解； C、是解，但既非通解也非特解； D、不是解。 2、微分方程(x?2xy?y)dy?ydx?0是( )。
A、可分离变量方程；B、线性方程；C、伯努利方程；D、全微分方程。 3、微分方程2y???5y??cosx的一个特解应具有的形式为( )。 A、x(acosx?bsinx)； B、ax?bcos2x?csin2x； C、a?bcos2x； D、ax?bcos2x?csin2x。 三、求下列方程的通解： 1、xy??y?2xy；
222222dy?(1?x)y?e2x(0?x???)满足limy(x)?1的解；
x??0dx23、y??sin(x?y?1)。
x四、已知微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)有三个特解：y1?x,y2?e， y3?e2x，求此方程满足初始条件：y(0)?1,y?(0)?3的特解。
2、x五、设f(x)?ex?x?x0(x?t)f(t)dt，其中f(x)为连续函数，求f(x)。
六、设du?[e?f?(x)]ydx?f?(x)dy，其中f(x)在(??,??)上有二阶连续导数，f(0)?4，f?(0)?3，试求出函数f(x)。
七、若函数f(x)、g(x)满足下列条件：f?(x)?g(x)，f(x)??g?(x)，
f(x)?与y?0，x?所围成图形面积。 g(x)4八、在连接A(0,1)和B(1,0)两点的一条上凸曲线上任意一点P(x,y)，已知曲线f(0)?0，g(x)?0。求曲线y?2与弦AP之间的面积为x，求此曲线方程。
九、物体冷却速度与该物体和周围介质的温度成正比。有温度为T0的物体放在保持常温为?的室内，求温度T与时间t的关系。
十、一质量为m的物体，以初速度v0垂直上抛，假设空气阻力与速度的平方成正比，试求物体上升的高度H。
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第十二章 参 考 题
一、单项选择题：
1、函数y?3e是y???4y?0的（ ）。
A：通解； B：特解； C：不是解； D：是解，但既非通解也非特解。
sinx?0的解,且f?(x0)?0，则f(x)在2、设y?f(x)是微分方程y???y??e2x（ ）。
A：x0的某个邻域内单调增加； B：x0的某个邻域内单调减少； C：x0处取得极小值； D：x0处取得极大值。
3、已知函数微分方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x),(f(x)?0)有两个特解
y1(x),y2(x)，且知?y1(x)??y2(x)是微分方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解（?,??R），则????（ ）。
A: 0； B: 1； C: ?1； D: 2。
x二、设二阶常系数线性微分方程y????y???y??e的一个特解为
y?e2x?(1?x)ex ，
试确定常数?,?,? 并求该方程的通解。
三、证明y1?e与y2?sinx是线性无关的，并求出以y1，y2为特解的二阶齐次线性方程。 四、已知y???(x?e)y??0，若将x看成因变量，y看成自变量，则方程化为什么形式？并求此方程的通解。 五、设函数y?f(x)满足微分方程y???3y??2y?2e且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x?x?1在该点的切线重合，求f(x)。
六、(1)若1?P(x)?Q(x)?0，证明y???P(x)y??Q(x)y?0有一解y?e；
若P(x)?xQ(x)?0，证明y???P(x)y??Q(x)y?0有一解y?x。 (2)根据上面的结论，求(x?1)y???xy??y?0满足初始条件y(0)?2，
x2x2y32xy?(0)?1的特解。
1x七、已知?(0)?，确定?(x)，使曲线积分?[e??(x)]ydx??(x)dy与路
AB2径无关，当A、B分别为(0,0)，(1,1)时，求曲线积分的值。
1x八、已知f(0)?，试确定f(x)，使得(e?f(x))ydx?f(x)dy?0为全微
2分方程，求此全微分方程的通解。
x3x,(???x???)满足微分方程： 九、验证函数s(x)??(3n)!n?1y???y??y?ex，
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x3x进而求出幂级数?的和函数s(x)。
(3n)!n?1十、对于半空间x?0内任意的光滑有向闭曲面?，恒有
??其中函数f(x)在(0,??)上具有连续的一阶导数，且lim?f(x)?1，求f(x)。
x?0??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，
十一、有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中其侧面满足方程：
2(x2?y2)z?h(t)?，
h(t)其中长度单位为厘米，时间单位为小时。已知雪堆体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为0.9，问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时。 十二、某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为泊内不含A的水量为
V，流入湖6VV，流出湖泊的水量为。已知2004年底湖中A的含量63为5m0，超过国家标准m0的5倍。为了治理污染，从2005年初起，限定排入湖
泊中含污染物A的浓度不超过
m0，问至少要经过多少年才能使湖泊中含污染物VA的含量降至国家标准（假设湖水中污染物A的浓度是均匀的）。
33十三、某化工车间内受到二氧化碳(CO2)污染，需要在短时间内改变这种污染状况，设化工车间的体积为V?12000m，如果以每分钟向车间内注入1000m的新鲜空气，且车间内不再产生新的CO2，问需多长时间才能将被污染的车间中CO2的含量从1.500降到0.0600（新鲜空气中CO2的含量为0.0400）。
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