乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有
（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
1因此P(甲正>乙正)=2
46.证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).
【证】由P（A|C）≥P(B|C),得 P(AC)P(C)?P(BC)P(C),
P(BC )P(B|C),即有 P(AC)?同理由 P(A|C)?得 P(AC)??故 P(A)?P(AC)
P(BC),
P(AC?)P(B?C)(PB?)C (P )B
47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则
P(Ai)?(n?1)nkk?(1?2n)k1n)kP(AiAj)?(1??P(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?n?1n)k
其中i1,i2,?,in1是1，2，?，n中的任n1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是
13
nS1?S2???i?1P(Ai)?n(1?1n2)?Cn(1?2n)kk11n)k?1?i?j?nP(AiAj)?Cn(1?Sn?1?Sn?0n?1?i1?i2??in?1?nP(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1n?1n)kP(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)i?11n?1Sn1n2nk
22)?C(?1nnk 故所求概率为
ni?1?Cn(1?)????(1n)Cn?n1n?1k?(1n
)
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1?(1??)?1(n??)n1?P(?Ai)?1?Cn(1?11n)?Cn(1?k2)???(?1)in?1Cn(1?n?1n?1n)k
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽} B={这只硬币为正品}
P(B)?mm?nP,B(?)nm?n
由题知
P(A|B)?12r,P(A|B)?1则由贝叶斯公式知 P(B|A)?P(AB)P(A)?
P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
1?rmm?n2??rm1nm?2n?r??1m?n2m?n
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用
m火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？
14
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有
P(B1)?P(B2)?12.（1）发现一盒已
空，另一盒恰剩r根，说明已取了2nr次，设n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B1，发现已空。把取2nr次火柴视作2nr重贝努里试验，则所求概率为
1n1n?r11nnp1?2C2n?r()()??Cn?r2r?r2222
式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率为
p2Cn?11n?11n?r1n?112n?r?12?2n?r?1(2)(2)2?C2n?r?1(2)
51.求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
(q?p)n?C00nn?1npq?C1npq?C22n?2nn0npq???Cnpq?1
(q?p)n?C00nn?1npq?C1npq?C22n?2npq???(?1)nCnn0npq
以上两式相减得所求概率为
p1n?11?Cnpq?C33n?3npq??
?1n2[1?(q?p)]
?12[1?(1?2p)n]
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
p2?12[1?(1?2p)n].
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB （A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB 所求 (A?B)(A?B)(?AB)?(A
B)
?[(AB?AB)?(A?BA)B
] ?? 故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
15
ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?3P(A)?3P[A(12
P(A)?139?)]16
1故
4或4,按题设P（A）<2,故P（A）=4.
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.
P(AB)?P(?AB)?1?P(?A1B?)9 ①
【解】
P(AB)?P(AB) ②
P(B?)P(A B故 P(A)?P(AB)?故 P(A)?P(B ) ③ 由A,B的独立性，及①、③式有
19?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)
?1?2P(A)?P[(A)]2
?[1?P(A)]2
1?P(A)??13
43（舍去）
故
P(A)?23或
P(A)?故
2即P（A）=3. 55.随机地向半圆0 2ax?x (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 2区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 1【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为2πa2.阴影部分面积为 π4a?212a2 16