其中所含零光子模的能量
En?(n?12)h? n?0,1,2,? （17-18）
E0?h?2，叫零点能。在多数实验中，直接测到的只
是两能态的能量差(En?Em??E)，因此直接测量不到零点能，这是量子力学中非对易变量零点涨落的结果。所以，在任何有物理意义的物理量计算中，可以不予考虑，但在热辐射的普朗克定律中，它被理解为具有物理意义的噪声量，在原子的自发辐射过程起着关键作用。
按照
E?h??ch?，可得各种频率(或波长)的光子能量值。频率高的光子带
有较大能量，光子的粒子性愈显突出，光子的波长较短，像干涉、衍射这类波动性质随之变得难以觉察。所以X射线和?射线的行为几乎像一群粒子。相反，无线电波的行为纯粹是波。而在光所属的频区内，光具有粒子和波动的二重性行为。
二．
光子定位
光子的波行为，用与光子相属的那个模的波函数AU(r)exp(?i2??t)来描述。 当一个光子沿传播方向垂直打到探测器中位置r附近小面积dA内时，如按照经典理论和光子的不可分性，只存在要么测到该光子，要么没测到该光子这样两种可能。但光子具有波的行为，光子出现的确定位置是不存在的，这个位置应由光强
I(r)?U(r)2决定。
在一个元面积dA内，在任意时间内在r点观察到一个光子的几率p(r)dA正比该处光强，即
p(r)dA?I(r)dA (17-19)
此式表明，在光强高的地方，容易找到光子，所以对一个强度分布为
I(x,y,z)??sin(?z2d)
(0≤z≤d)的驻波模，在z＝d／2处最可能找到光子，且光子决不会出现在z＝0和z＝d处。因此，纯波动在空间是无限延伸的，而纯粒子是定位的。故光子的行为象一个在一定范围内伸展和定位的物。光子的这一行为就是前述的波粒二象性。
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利用式（17-19），可以很方便地解决一个光子通过光学元件(如分束器)的能力问题。对于一个理想分束器，设它的透射率为?光强It和反射光强Ir存在关系式：
It??I，I，则透射
， Ir?(1??)I
实际上由于光子是不可分的，所以入射单个光子只能取分束器两个可能方向之一的路径。光子透射的几率正比于?，而反射几率正比于(1??)。
图17-7 光子入射分束器
三．
光子动量
光子作为微观粒子，和其它的基本粒子一样，除了具有一定的能量外，还具有动量等，在相互作用中遵守能量和动量守恒定律。根据量子理论，电磁波是简谐振子的模组成，模内光子的动量p可以用它的平面波函数的波矢k来描写,即：
p=?k (17-20)
其中??h/2?。若光子在波矢方向运动，其动量的幅值为
p??k?h? （17-21）
复函数形式的波可能有比平面波更复杂的形式，此时使用傅里叶分析方法，展开成具有不同波矢的平面波之和。其中波矢为k的波分量为
A(k)exp(ik·r)exp(-i2??t)e
式中A(k)是波矢为k的平面波分量的振幅。该波描写的光子的动量是一个测不准量，它的值p??k出现的几率正比于|A(k)|。 四．
光子偏振
2
光子的偏振就是光子所占模式的偏振。电磁波可展开成模之和，这种展开可
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有多种选择，形成了各种偏振方向、偏振状态。下面用光子光学的概念解释这些偏振的性质。 1． 线偏振光子
这相当于在z方向传播的两个平面波模叠加成的光，如图17-8。若设一个波模在x向线偏振，另一个波模在y向线偏振，则合成波模为
E(r,t)＝(Axx+Ayy)exp(ikz)exp(-i2??t) (17-22) (x，y)坐标系统绕z轴逆时针旋转45°，形成新坐标系统(x’,y’)。新坐标系统中合成波模为
E(r,t)=(Ax’x’+Ay’y’)exp(ikz)exp(-i2??t) (17-23)
若x偏振模占有一个光子，而y偏振模是真空，x’方向偏振的光子被找到的几率为多大?使用光子光学中所用的概率概念可以解答这个问题。因为找到一个x，y，x’或y’向偏振的光子的几率正比于该方向波模强度|Ax|2，|Ay|2，|Ax’|2或|Ay’|。这个问题中，显然，|Ax|＝1，|Ay|＝0，而|Ax’|＝|Ay’|=1/2，其结果可用图(16-8)表述如下：找到—个x方向偏振光子的几率为1相当于找到一个x’ 方向偏振光子的几率为1／2和找到一个y’方向偏振光子的几率为1／2。
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图17-8 线偏振光子
2． 圆偏振光子
光波场也可按两个圆偏振平面波模展开（如图17-9），即
E(r,t)＝(AReR+ALeL)exp(ikz)exp(-i2??t) (17-24)
其中，AR和AL分别是右旋和左旋圆偏振的振幅。这两个模分别带有右旋圆偏振光子和左旋圆偏振光子，找到带这种偏振的光子的几率分别为|AR|2和|AL|2。一个线偏振光子等效为一个右旋圆偏振光子和左旋圆偏振光子的叠加。因为后者被找到的几率均为1/2，这种情形示于图17-9中。从该图可知，找到一个线偏振光子的几率为1等效于找一个右旋偏振光子的几率为1/2加上找一个左旋偏振光子的几率为1/2，所以一个圆偏振的光子在通过线偏振器后，检测到它的几率仅为1/2。
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图17-9 圆偏振光子
五、 光子自旋
光子与其它微观粒子一样，具有内禀角动量，即自旋。由于光波是横波，所以自旋在光传播方向上只有两种可能投影值，即
S=?? (17-25)
其中“+”和“一”号分别表示这两个投影态与右旋和左旋圆偏振光子的自旋平行或反平行于其动量矢相对应。而线偏振光子，自然呈现的平行或反平行于其动量矢的几率是相等的。线偏振光子可把动量传递给其它物体，圆偏振光子对物体作用是一个转动惯量。
第四节 光子流
上面讨论了单个光子的性质。本节将讨论光子集合的性质。光子集合，即多光子体系，它存在各种各样的随机性，这些随机性均源自光子的统计性质。 一．
光子简并度
按照光的量子理论，光子是组成光辐射场的基本物质单元。组成光辐射场的大量数目的光子分别处于不同的光子统计状态。光子的运动状态简称为光子态。光子态是按光子所具有的不同能量(或动量数值)、光子行进的方向以及偏振方向彼此相互区分的。处于同一光子态内的光子彼此之间是不可区分的，又因为光子是玻色子，在光子集合中，光子数按其运动状态的分布不受泡利不相容原理的限制。处于同一光子态的平均光子数目称为光场的光子简并度。光子集合中光子数按态的分布服从玻色一爱因斯坦(Bose—Einstein)统计分布规律。在温度为T的平衡热辐射场中，处于频率为?(或能量为h?)的光子态的平均光子数，即光子简并度为
n?e1h?kBT (17-26)
?1式中：T为绝对温度，h为普朗克常数，kB为玻尔兹曼常数。对于光频波段，在
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