3?0Eacos?
??2?002(???0)??13???Ecos??Ecos???E0cos? r?a00?r??2?0??2?03?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2??故有 ?1(a,?)??2(a,?)， ?0r?ar?a
?r?r可见?1和?2满足球表面上的边界条件。
?2(a,?)?? 球表面的束缚电荷密度为
3?0(???0)E0cos? r?ar?a??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度d(0~)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。
2(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；
?p?ngP2?(???0)ergE2??(???0)??2?r?(3) (3) 求电容器的电容量。
解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有
?E??0E0 dd又由于 E?E0??U0
22由以上两式解得
z d2 U0
2?0U02?U0 d2 E??E?? ，0
(???0)d(???0)d
2?0?U0 故下极板的自由电荷面密度为 ?下??E??(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为上00(???0)d2?0(???0)U0P?(???)E??e 电介质中的极化强度0z(???0)d2?0(???0)U0 故下表面上的束缚电荷面密度为 ?p下??ezgP?(???0)d2?0(???0)U0 上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ezgP??(???0)d2?0?UQ? （2）由 ??ab(???0)dE0 (???0)dQ?1U? 得到 2??ab?2 0 E (???0)Q?1?? 故p下 ?ab ??0E0
? 题 3.21图
题3.22图
(???0)Q
?ab2?0?abQ? （3）电容器的电容为 C? U(???0)d?p上??3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角?1，如题3.22图所示。求：（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。
tan?1?0? 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
tan?2??1?1?0tan?2?tan?10?tan?1?14o 由此得到 ?1?tan??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即
?0E0cos?1??En
?1o所以 En?0E0cos?1?E0cos14
?4介质板左表面的束缚电荷面密度
?p??(???0)En???0E0cos14o??0.728?0E0
介质板右表面的束缚电荷面密度
34?p?(???0)En??0E0cos14o?0.728?0E0
34 3.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：
（1）平行于E的针形空腔；
（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。
解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中
E0?E，D0??0E0??0E （2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中
D0?D??E，E0?D0?0??E ?03.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为 ???1?y(?2??1)d 设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得
Dy???q SEy?dDy??q
[?1?y(?2??1)d]S所以，两极板的电位差 U?Eydy?0??2qqddy?ln ?[?1?y(?2??1)d]SS(?2??1)?10d故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
解 在质子束内部，由高斯定理可得 2?rEr?1?0?r2?
?r2.32?10?7r??1.31?104rVm (r?10?3m) 故 Er??122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?0?a2?
?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10m) 故 Er??122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是不均匀
?(??)。试的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??Jg问有没有束缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。
???(?E)??g(J)?Jg?()??gJ 解 ???gD??g????(??) 对于恒定电流，有?gJ?0，故得到 ??Jg介质中有束缚体电荷?P，且
?J?P???gP???gD??0?gE??Jg?()??0?g()???????0??Jg?()?Jg?(0)??Jg?()
???3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，
外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。
dS?I，可得电流密度 解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由JgS?I
(a?r?c)
2?rJI (a?r?b) ?er介质中的电场 E1??12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0?E1gdr?E2gdr?ab??I2??1lnbIc?ln a2??2b于是得到 I?2??1?2U0
?2ln(ba)??1ln(cb)J?er故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
?1?2U0 (a?r?c)
r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b)
r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]E1?er （2）由??ngD可得，介质1内表面的电荷面密度为
?1??1ergE1介质2外表面的电荷面密度为
r?a??1?2U0
a[?2ln(ba)??1ln(cb)]???2???2ergE2两种介质分界面上的电荷面密度为
r?c?2?1U0
c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0 r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2
I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)?12??(?1ergE1??2ergE2)3.28 半径为R1和R2(R1?R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。
解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以
4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)
(R1?r?R2)
R2由两导体间的电压 U0?R1?Egdr??R2(R1?K)?II dr?ln???4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?R14??0KU0可得到 ?R(R?K)?
ln?21??R1(R2?K)??0KU0J?er所以 ?R2(R1?K)? 2rln???R1(R2?K)?I????Jg?()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为
1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln??R(R?K)?12??K2U0??1?ergJ?r?R1?1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln???R1(R2?K)??KU0