故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?erZe?1r??2?3? 4??rra?33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆
柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为
??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场
的叠加。
在r?b区域中，由高斯定律??EgdS?Sq?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r???er???? E1 产生的电场分别为 E1?er22??0r2?0r2??0r?2?0r?2b a ?0 c b ＝ a ?0 c 题3. 3图(b)
＋
b ?? 0a c
?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2 22??0r2?02??0r?2?0r??0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
?r2?0?0r??r?2?0?0r???E3?er??? E3?er
2??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为 332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为
?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。
解：由?gD??，有 ?(r)??gD?1d2(rDr) r2dr1d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr541d(a?Aa)2在r?a区域 ?(r)??02[r]?0
rdrr2故在r?a区域 ?(r)??03.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为
4的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为
真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
1d21d2r4r3???0?gE??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04
rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a
a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，
2Q?2?0 所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 ??4?a2 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具有什么关系？
解 （1）由高斯定理
a??DgdS?q，当r?a时，有 D0S01?0
当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?1ba?1?b?2?? ?0，则得到 ?2ar3.7 计算在电场强度E?exy