故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?erZe?1r??2?3? 4??rra?33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆
柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为
??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场
的叠加。
在r?b区域中，由高斯定律??EgdS?Sq?0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r???er???? E1 产生的电场分别为 E1?er22??0r2?0r2??0r?2?0r?2b a ?0 c b ＝ a ?0 c 题3. 3图(b)
＋
b ?? 0a c
?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2 22??0r2?02??0r?2?0r??0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
?r2?0?0r??r?2?0?0r???E3?er??? E3?er
2??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为 332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为
?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。
解：由?gD??，有 ?(r)??gD?1d2(rDr) r2dr1d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr541d(a?Aa)2在r?a区域 ?(r)??02[r]?0
rdrr2故在r?a区域 ?(r)??03.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为
4的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为
真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
1d21d2r4r3???0?gE??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04
rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a
a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，
2Q?2?0 所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 ??4?a2 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具有什么关系？
解 （1）由高斯定理
a??DgdS?q，当r?a时，有 D0S01?0
当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?1ba?1?b?2?? ?0，则得到 ?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点
2P（1）沿曲线x?2y；（2）沿连接该两点1(2,1,?1)移到点P2(8,2,?1)时电场所做的功：
的直线。
dl?qEgdl?qExdx?Eydy? 解 （1）W?FgCCC???2q?ydx?xdy?q?yd(2y2)?2y2dy?C12q?6y2dy?14q??28?10?6(J)
1（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为
x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?2故
2W?q?ydx?xdy?q?yd(6y?4)?(6y?4)dy?C12q?(12y?4)dy?14q??28?10?6(J)
13.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。
解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点
P的电位为
z L2 L2?(r,0)??L2??l0dz?4??0r?z?22?
L2?l0
o P ? ?l0ln(z??r2?z?2)4??0r
?
?L2 2r2?(L2)?L2?l0ln?
224??0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2??0r?L2 题3.8图
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为
dE?erdEr?er?l0dz?2??0r2?z?2cos??er?l0rdz?2??0(r2?z?2)32L20
故长为L的线电荷在点P的电场为
L2E??dE?er?0?l0rdz?2??0(r2?z?2)32?l0z??er()2??0rr2?z?2?er?l0L4??0rr2?(L2)2
由E????求E，有
2?l0?L2?r2?(L2)??? E????????ln2??0?r????er?l0d?2lnL2?r2?(L2)?lnr??
???2??0dr?Lr2?(L2)2?????l0?r1?e?l0?er???r?4??0r2??0??L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r???????
rP?ldl求3.9 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?er，试用定义式?(r)??Eg2??0rr其电位函数。其中rP为电位参考点。
rPrP解
?(r)??Egdl??rr?l??rrdr?llnrr?llnP 2??0r2??02??0rP由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。
3.10 一点电荷?q位于(?a,0,0)，另一点电荷?2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。
解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位
?(x,y,z)?14??0令?(x,y,z)?0，则有
(x?a)?y?z(x?a)?y?z12??0
222222(x?a)?y?z(x?a)?y?z[q222?2q222]
222222即 4[(x?a)?y?z]?(x?a)?y?z
524a)?y2?z2?(a)2 3354由此可见，零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。
33Ze1r23(??) 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 ?(r)?4??0r2ra2raZe 解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 D1?er24?r?4?ra33Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2?er??er224?r4?r故得 (x?所以原子外的电场为零。故原子内电位为
Ze1r23Zea1r(??) ?(r)??Ddr?(?)dr?23?4??0r2ra2ra?0r4??0rrra3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
r?a??(r)?0? ?a2?(r)?A(r?)cos?r?a??r1rar （1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由E????，可得到 r?a时， E?????0
?a2?a2r?a时， E??????er[A(r?)cos?]?e?[A(r?)cos?]?
?rrr??ra2a2?erA(1?2)cos??e?A(1?2)sin?
rr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为
???0ngEr?a??0ergEr?a??2?0Acos?
3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2??0 （1）sin(kx)sin(ly)en?hz 其中h2?k2?l2；
（2）r[cos(n?)?Asin(n?)] 圆柱坐标；
cos(n?) 圆柱坐标；
（4）rcos? 球坐标；
（3）r（5）r?2?ncos? 球坐标。