同理 ?Hg(A?H)??Ag(?H?H)??Ag(??H) 故有 ?g(A?H)?Hg??A?Ag??H
1.30 利用直角坐标，证明
??(fG)?f??G??f?G
解 在直角坐标中
?G?G?G?G?Gz?Gy?)?ey(x?z)?ez(y?x)] ?y?z?z?x?x?y?f?f?f?f?f?f?Gy)?ey(Gx?Gz)?ez(Gy?Gx)] ?f?G?[ex(Gz?y?z?z?x?x?yf??G?f[ex(所以
?Gy?Gz?f?f?f)?(Gy?f)]? ?y?y?z?z?Gx?Gz?f?fey[(Gx?f)?(Gz?f)]?
?z?z?x?x?Gy?Gx?f?fez[(Gy?f)?(Gx?f)]?
?x?x?y?y?(fGx)?(fGz) ?(fGz)?(fGy)?]?ex[?]?ey[?z?x?y?z?(fGy)?(fGx)ez[?]???(fG)
?x?y1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及?g(??A)?0，试证明之。
解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有
?u(???u)gdS??ugdl?dl??du?0 ?蜒????lSCCC由于曲面S是任意的，故有
??(?u)?0
（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积?，由散度定理有
??g(??A)d????(??A)gdS??(??A)gdS??(??A)gdS
f??G??f?G?ex[(Gz?SS1S2其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有
S1?(??A)gdS???Agdl， ?(??A)gdS???Agdl
C1S2C2由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有 所以得到
蜒?Agdl???Agdl
C1C2?g(??A)d??蜒Agdl??Agdl??蜒Agdl??Agdl?0 ????C1C2C2C2由于体积?是任意的，故有 ?g(??A)?0
二章习题解答
2.6 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为
C2n1 C1S1
4????0U0d?43x?23，式中阴极板位于x?0，阳极板
9n2S2 题1.27图
位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。
d 解 （1） Q?（
d??43?23?d??(??Udx)Sdx??00??0494?0U0S??4.72?10?11C 3d）
2
Q????d????414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等
速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由
12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms 故 J??v?0.318 Am2
I?J?(d2)2?10?6 A
2.16 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个
直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??rsin?
球内的电荷体密度为
??故 J??v?e?Q
4?a33Q3Q??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求
球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为
v???r?e??asin?
球面的上电荷面密度为
??故 JS??v?e?Q 4?a2QQ??asin??esin? ?24?a4?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。
解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为
qr?r1?2ex4?ez4E1?1?
4??0r?r1?3??0(42)3电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为
E2?故(4,0,0)处的电场为
q2r?r2?1ex4?ey4 ??334??0r?r2???0(42)ex?ey?ez2322??0
E?E1?E2?2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度
E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。
解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为
?lar?r?d???
4??0(2a)3?lez?(excos???eysin??)d??
a82??0在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度为
E(0,0,a)??dE?
dE?dE r z P r? y
a ?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? y?2zx82??0a82??0a??2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的
电场强度。
解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为
?2 x ?? ?l dl? 2.6图 题
d?则
L3
tan30o?L26y ?l13?l1 (cos30o?cos150o)?eyE1 4??0d2??0L?l3 ?l2 3?l1oo3?l2 E2??(excos30?eysin30)??(ex3?ey)2??0L8??0LE3 E2 3?l33?l1o ?l1 E3?(excos30o?eysin30o)?(ex3?ey)2??0L8??0LE1?ey故等边三角形中心处的电场强度为
E?E1?E2?E3?
题2.7图
x
3?l13?l13?l13?l1 ?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey4??0L2??0L8??0L8??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电
ey场强度E?0的点？
解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为
E1?qex(x?a)?eyy?ezz222324??0[(x?a)?y?z]
电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为
E2??2qex(x?a)?eyy?ezz 4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有
ex(x?a)?eyy?ezz[(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等，可得到
22232?2[ex(x?a)?eyy?ezz][(x?a)?y?z]22232
(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32 ① y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32 ②
z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32 ③
当y?0或z?0时，将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解；
当y?0且z?0时，由式①，有
(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3
解得
x?(?3?22)a
但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。
2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。
解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为
z r?z0dr232
2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为
dE?ezr?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)0003z0?? ? ?ez0? 2?03z0Q b dI ? a o 而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为
E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)?ez0?1?E 4?02 2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速 度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。
解 球面上的电荷面密度为
题2.10图
处的电流面密度为
??Q 4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点
JS??v??ω?r??ez??era?
?Qe???asin??e?sin?
4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环的电流为 dI?JSdl??Qsin?d? 4?