《电磁场与电磁波》第版(谢处方编)课后习题答案高等教育出版社精要

同理 ?Hg(A?H)??Ag(?H?H)??Ag(??H) 故有 ?g(A?H)?Hg??A?Ag??H

1.30 利用直角坐标,证明

??(fG)?f??G??f?G

解 在直角坐标中

?G?G?G?G?Gz?Gy?)?ey(x?z)?ez(y?x)] ?y?z?z?x?x?y?f?f?f?f?f?f?Gy)?ey(Gx?Gz)?ez(Gy?Gx)] ?f?G?[ex(Gz?y?z?z?x?x?yf??G?f[ex(所以

?Gy?Gz?f?f?f)?(Gy?f)]? ?y?y?z?z?Gx?Gz?f?fey[(Gx?f)?(Gz?f)]?

?z?z?x?x?Gy?Gx?f?fez[(Gy?f)?(Gx?f)]?

?x?x?y?y?(fGx)?(fGz) ?(fGz)?(fGy)?]?ex[?]?ey[?z?x?y?z?(fGy)?(fGx)ez[?]???(fG)

?x?y1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及?g(??A)?0,试证明之。

解 (1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯定理有

?u(???u)gdS??ugdl?dl??du?0 ?蜒????lSCCC由于曲面S是任意的,故有

??(?u)?0

(2)对于任意闭合曲面S为边界的体积?,由散度定理有

??g(??A)d????(??A)gdS??(??A)gdS??(??A)gdS

f??G??f?G?ex[(Gz?SS1S2其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理,有

S1?(??A)gdS???Agdl, ?(??A)gdS???Agdl

C1S2C2由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路,则有 所以得到

蜒?Agdl???Agdl

C1C2?g(??A)d??蜒Agdl??Agdl??蜒Agdl??Agdl?0 ????C1C2C2C2由于体积?是任意的,故有 ?g(??A)?0

二章习题解答

2.6 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为

C2n1 C1S1

4????0U0d?43x?23,式中阴极板位于x?0,阳极板

9n2S2 题1.27图

位于x?d,极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2,求:(1)x?0和x?d区域内的总电荷量Q;(2)x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。

d 解 (1) Q?(

d??43?23?d??(??Udx)Sdx??00??0494?0U0S??4.72?10?11C 3d)

2

Q????d????414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束,通过1000V的电压加速后形成等

速的质子束,质子束内的电荷均匀分布,束直径为2mm,束外没有电荷分布,试求电流密度和电流。

解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由

12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms 故 J??v?0.318 Am2

I?J?(d2)2?10?6 A

2.16 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷,球体以匀角速度?绕一个

直径旋转,求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点,转轴(一直径)为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r,且r与z轴的夹角为?,则P点的线速度为

v???r?e??rsin?

球内的电荷体密度为

??故 J??v?e?Q

4?a33Q3Q??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q,同样以匀角速度?绕一个直径旋转,求

球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点,转轴(一直径)为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r,且r与z轴的夹角为?,则P点的线速度为

v???r?e??asin?

球面的上电荷面密度为

??故 JS??v?e?Q 4?a2QQ??asin??esin? ?24?a4?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处,q2??4C位于y轴上y?4处,求(4,0,0)处的电场强度。

解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

qr?r1?2ex4?ez4E1?1?

4??0r?r1?3??0(42)3电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

E2?故(4,0,0)处的电场为

q2r?r2?1ex4?ey4 ??334??0r?r2???0(42)ex?ey?ez2322??0

E?E1?E2?2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l,求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度

E(0,0,a),设半圆环的半径也为a,如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为

?lar?r?d???

4??0(2a)3?lez?(excos???eysin??)d??

a82??0在半圆环上对上式积分,得到轴线上z?a处的电场强度为

E(0,0,a)??dE?

dE?dE r z P r? y

a ?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? y?2zx82??0a82??0a??2.7 三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为?l1、?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3,计算三角形中心处的

电场强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

?2 x ?? ?l dl? 2.6图 题

d?则

L3

tan30o?L26y ?l13?l1 (cos30o?cos150o)?eyE1 4??0d2??0L?l3 ?l2 3?l1oo3?l2 E2??(excos30?eysin30)??(ex3?ey)2??0L8??0LE3 E2 3?l33?l1o ?l1 E3?(excos30o?eysin30o)?(ex3?ey)2??0L8??0LE1?ey故等边三角形中心处的电场强度为

E?E1?E2?E3?

题2.7图

x

3?l13?l13?l13?l1 ?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey4??0L2??0L8??0L8??0L2.8 -点电荷?q位于(?a,0,0)处,另-点电荷?2q位于(a,0,0)处,空间有没有电

ey场强度E?0的点?

解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为

E1?qex(x?a)?eyy?ezz222324??0[(x?a)?y?z]

电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为

E2??2qex(x?a)?eyy?ezz 4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0,则有

ex(x?a)?eyy?ezz[(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等,可得到

22232?2[ex(x?a)?eyy?ezz][(x?a)?y?z]22232

(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32 ① y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32 ②

z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32 ③

当y?0或z?0时,将式②或式③代入式①,得a?0。所以,当y?0或z?0时无解;

当y?0且z?0时,由式①,有

(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3

解得

x?(?3?22)a

但x??3a?22a不合题意,故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。

2.9 一个很薄的无限大导电带电面,电荷面密度为?。证明:垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中,有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。

解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为

z r?z0dr232

2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为

dE?ezr?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)0003z0?? ? ?ez0? 2?03z0Q b dI ? a o 而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为

E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)?ez0?1?E 4?02 2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速 度?绕一个直径旋转,如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。

解 球面上的电荷面密度为

题2.10图

处的电流面密度为

??Q 4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时,球面上位置矢量r?era点

JS??v??ω?r??ez??era?

?Qe???asin??e?sin?

4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环,则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环的电流为 dI?JSdl??Qsin?d? 4?

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