ex?又 ??A??xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ??AgdS?S???(e2yz?e2x)gexz00zdxdy?8
故有
??Agdl?8????AgdS
CS1.22 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。
解 蜒?Agdl?CC?xdx?xydy??Ay22??(?a02cos?sin??acos?sin?)d??a2?422?a44
?Ax?a4222 ??AgdS??ez(?)gezdS??ydS???rsin?rd?dr??4?x?yS00SS1.23 证明：（1）（2）（3）其中R?exx?eyy?ezz，?(AgR)?A。?gR?3；??R?0；
A为一常矢量。
解 （1）?gR??x?y?z???3 ?x?y?zex?（2） ??R??xxey??yyez??0 ?zy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则AgR?Axx?Ayy?Azz，故
??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.24 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果?gF?0，那么函数f(r)会有什么特点
?(AgR)?ex呢？
解 在圆柱坐标系中，由 ?gF?可得到
1d[rf(r)]?0 rdrC C为任意常数。 r1d2在球坐标系中，由 ?gF?[rf(r)]?0 2rdrC
可得到 f(r)?r21.25 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P到点P2(8,2,?1)的线积分1(2,1,?1)f(r)?（1）沿抛物线x?y?Egdl：
2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？
dl?Exdx?Eydy?解 （1） EgCC2??1C?ydx?xdy?
2126yyd(2y)?2ydy??dy?14 ?22（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为
x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222故
C?Egdl??ECxdx?Eydy??yd(6y?4)?(6y?4)dy??(12y?4)dy?14
11由此可见积分与路径无关，故是保守场。
1.11 求标量函数??x2yz的梯度及?在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex345定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 ?ey?ez505050?2??解 ???ex(xyz)?ey(x2yz)?ez(x2yz)?
?x?y?zex2xyz?eyx2z?ezx2y
z r?? r ?r ?z z o ? x y
?? 题1.21图
345的方向导数为 ?ey?ez50505022??6xyz4xz5xy ???gel????l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为
??361660112 ?????l50505050故沿方向el?ex1.26 试采用与推导直角坐标中
?gA?公式
?Ax?Ay?Az相似的方法推导圆柱坐标下的???x?y?z?A??Az1?。 ?gA?(rAr)??r?rr???z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的
表面的通量为
????z??z????z??z?r????zArr??r(r??r)drd?????zArrrdrd??
?(rAr)1?(rAr)?r???z??? ?rr?r[(r??r)Ar(r??r,?,z)?rAr(r,?,z)]???z?同理
r??rz??zr??rz??z?????rzA?????drdz???rzA??drdz?
[A?(r,????,z)?A?(r,?,z)]?r?z??A????r???z??A?r????
r??r????r??r?????z????rAzz??zrdrd?????rAzzrdrd??
[Az(r,?,z??z)?Az(r,?,z)]r?r???z??Az?Ar?r???z?z?? ?z?z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为
1?(rAr)?A??AzΨ?Ψr?Ψ??Ψz?[??]??
r?rr???z?1?(rAr)?A??Az ???故得到圆柱坐标下的散度表达式 ??A?lim???0??r?rr???z2221.13 方程u?x?y?z给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。
222abc解 由于 ?u?ex故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2x2y2z
?e?eyza2b2c2 ?u?2(x)2?(y)2?(z)2
a2b2c2?uxyzxyz?(ex2?ey2?ez2)(2)2?(2)2?(2)2 abcabc?u1.27 现有三个矢量A、B、C为
A?ersin?cos??e?cos?cos??e?sin?
n?B?erz2sin??e?z2cos??ez2rzsin? C?ex(3y2?2x)?eyx2?ez2z
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？
（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中
?gA?1?21?1?A?(rA)?(sin?A)??r?r2?rrsin???rsin???1?21?1?(rsin?cos?)?(sin?cos?cos?)?(?sin?)? r2?rrsin???rsin???2cos?2sin?cos?cos?sin?cos?????0 rrsin?rrsin?erre?rsin?e?1?????A?2?
rsin??r????ArrA?rsin?A?er1?r2sin??rsin?cos?re????rcos?cos?rsin?e???0
???rsin?sin?
故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；
在圆柱坐标系中
1?1?B??Bz
(rBr)???r?rr???z1?1?2? (rz2sin?)?(zcos?)?(2rzsin?)?
r?rr???zz2sin?z2sin???2rsin??2rsin? rrerre?ezerre?ez1???1?????B???0
r?r???zr?r???zBrrB?Bzz2sin?rz2cos?2rzsin??gB=故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
?gC=?Cx?Cy?Cz
????x?y?z???(3y2?2x)?(x2)?(2z)?0?x?y?zexeyez?????C??ez(2x?6y)
?x?y?z3y2?2xx22z
故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为
?gA?0，??A?0；
?gB=2rsin?，??B?0；
?gC?0，??C?ez(2x?6y)
1.28 利用直角坐标，证明
?g(fA)?f?gA?Ag?f
解 在直角坐标中
?Ax?Ay?Az?f?f?ff?gA?Ag?f?f(??)?(Ax?Ay?Az)?
?x?y?z?x?y?z?Ay?Ax?A?f?f?f(f?Ax)?(f?Ay)?(fz?Az)?
?x?x?y?y?z?z???(fAx)?(fAy)?(fAz)??g(fA) ?x?y?z1.29 证明
?g(A?H)?Hg??A?Ag??H
解 根据?算子的微分运算性质，有
?g(A?H)??Ag(A?H)??Hg(A?H)
式中?A表示只对矢量A作微分运算，?H表示只对矢量H作微分运算。
由ag(b?c)?cg(a?b)，可得
?Ag(A?H)?Hg(?A?A)?Hg(??A)