法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－
xyz，
设DA＝1，由已知条件得
A(1，0，0)，E?1，1，?，
F?0，1，?，AE＝?0，1，?，AF＝?－1，1，?，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ， 1y＋z＝0，→?3?n·AE＝0，
由?得
→2??n·AF＝0，－x＋y＋z＝0.
3
??
1?3?
??
2?→3?
??
1?→?3??2?
3?
?????
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)， 取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，
3112
则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝，tan θ＝.
113三、解答题
9.(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
【答案】见解析
【解析】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，
OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为AB＝AA1＝2，
所以A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，
→→→
B1(3，0，2)，C1(0，1，2).
(1)因为P为A1B1的中点，所以P?
1??3
，－，2?，
2??2
17
31?→→?
从而BP＝?－，－，2?，AC1＝(0，2，2)，
2??2→→|BP·AC1||－1＋4|310→→
故|cos〈BP，AC1〉|＝＝＝.
→→205×22|BP|·|AC1|310
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
20(2)因为Q为BC的中点，所以Q?
?31?
，，0?， ?22?
→?33?→→
因此AQ＝?，，0?，AC1＝(0，2，2)，CC1＝(0，0，2).
?22?设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量， →?33??AQ·n＝0，?x＋y＝0，
2则?即?2
→??AC1·n＝0，??2y＋2z＝0.不妨取n＝(3，－1，1).
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
→
|CC1·n|25
则sin θ＝|cos〈CC1，n〉|＝＝＝，
→5×25|CC1|·|n|
→
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
5
. 5
10. (2018·河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)(一题多解)求二面角B1－A1C－C1的正弦值. 【答案】见解析
【解析】(1)证明 如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，
∵C1C＝A1A＝A1C， ∴CD⊥A1C1，
∵底面△ABC是边长为2的正三角形， ∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2， ∴B1D⊥A1C1，
18
又B1D∩CD＝D，B1D?平面B1CD，CD?平面B1CD， ∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.
(2)解 法一 如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E. ∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，
∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1， 侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1， ∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C， ∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C， ∴∠B1ED为所求二面角的平面角. ∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝3，
12B1D3
又ED＝CC1＝，∴tan ∠B1ED＝＝＝6，
22ED2
2∴sin ∠B1ED＝
42. 7
42. 7
∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为
法二 如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，1)，B1(3，1，1)，C1(0，2，1)，C(0，1，0)，
→→
∴A1B1＝(3，1，0)，A1C＝(0，1，－1). 设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的法向量， →??m·A1B1＝3x＋y＝0，
∴?
→??m·A1C＝y－z＝0，
令y＝3，得m＝(－1，3，3)，
→
又OB＝(3，0，0)为平面A1CC1的一个法向量， →m·OB7→
∴cos 〈m，OB〉＝＝－，
→7|m||OB|由图易知所求二面角为锐角， ∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为
42. 7
19
【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.(2019·长沙雅礼中学检测)在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是( ) A.3
3 4
B.2
3 5
8C.－3
13
5D.－3
8
【答案】 C
【解析】 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，则PH＝2，AH＝BH＝1. ∴HE＝
3324，HF＝，则tan α＝tan β＝＝， 2233
2
2×
4
32tan α8
故tan(α＋β)＝＝＝－ 3. 2
1－tanα213
?4?1－???3?
12.(2019·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A.5 5
B.5 3
C.25
5
3D. 5
【答案】 A
【解析】 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
→→
∴BC1＝(0，2，－1)，AB1＝(－2，2，1)， ∴cos〈BC1，AB1〉＝
→
→
4－115＝＝＝＞0.
→→5×955|BC1||AB1|
BC1·AB1
→→
→→
∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， ∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为
5. 5
20