专题7.7 利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)
【考点聚焦突破】
考点一 用空间向量求异面直线所成的角
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.3 2
B.
15 5
C.
10 5
D.3 3
(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( ) 5A. 8
3B. 4
7C. 8
1D. 4
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
图(1)
则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，3，0). →→
所以AB1＝(1，－3，1)，BC1＝(1，0，1)， 则cos〈AB1，BC1〉＝
→→|AB1|·|BC1|＝
（1，－3，1）·（1，0，1）
5·2
＝
10＝，
55·2
10. 52
→
→
AB1·BC1
→→
因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
法二 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.
1
图(2)
则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝5，BC1＝AD1＝2，B1D1＝3. 由余弦定理得cos∠B1AD1＝
10. 5
(2)法一 取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝
3
a，所以2
a2＋a2－?
cos ∠PBD＝
?3?
a??2?
2
2×a×a5＝. 8
法二 如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
设AB＝2，则A(3，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P?－3?→→?3
所以AC＝(－3，－1，0)，PB＝?，1，－?，
2??2
55→→
cos 〈AC，PB〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
88法三 如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
?
?33?，0，?， 22?
2
因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB→→→→→→
＝2，则AC＝OC－OA，PB＝OB－OP， 5→→→→→→
故AC·PB＝(OC－OA)·(OB－OP)＝－，
2→→AC·PB5→→
所以cos 〈AC，PB〉＝＝－.
→→8|AC|·|PB|5
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
8【规律方法】
1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方|v1·v2|
向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.
|v1||v2|
?π?2.两异面直线所成角的范围是θ∈?0，?，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的
2??
夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
【训练1】 (一题多解)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为( ) 3
A. 5【答案】 C
【解析】 法一 如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，
B.3
2
1C. 2
4D. 5
EF∥CB1∥C1B′，
那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角. 设AA1＝2AB＝2a， 则AC1＝C1B′＝3a，
3
连接AB′，则AB′＝a＋（22a）＝3a， 由余弦定理得
（3a）＋（3a）－（3a）1
cos ∠AC1B′＝＝－.
22（3a）·（3a）1
故直线MN与EF所成角的余弦值为.
2法二 如图，连接AC1，C1B，CB1，
设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD， 则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，
那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角. 设AA1＝2AB＝2a，则AC1＝CB1＝3a， 于是OD＝OC＝又CD＝
3a， 2
2
2
2
22
3a，于是△OCD为正三角形， 2
11
故∠DOC＝60°，cos ∠DOC＝，即直线MN与EF所成角的余弦值为.
22
法三 取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB＝2，则AA1＝22，求得M(－1，0，2)，
N?－，
?1
?233???1
，22?，E?，，0?，F(1，0，2)， 2??22?
33?→?1?→?1
所以MN＝?，，2?，EF＝?，－，2?，
2?22??2?3
→→2MN·EF1→→
cos 〈MN，EF〉＝＝＝.
→→3×32|MN|·|EF|考点二 用空间向量求线面角
【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
4