习题1.1
5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. Hint:
根据除法的定义不难证明:
? 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;
? 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.
对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)
6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? Hint:
对于任何形如0<=m
gcd(m,n)=gcd(n,m)
并且这种交换处理只发生一次.
7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8)
习题1.2 1.(农夫过河)
P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜 2.(过桥问题)
1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒
4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c)
//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c
//输出:实根或者无解信息
1
If a≠0
D←b*b-4*a*c If D>0
temp←2*a
x1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2
else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0
if b≠0 return –c/b else //a=b=0
if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”
5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法 a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n
输出：正整数n相应的二进制数
第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n 第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步 第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法 DectoBin(n)
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入：正整数n
//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1
while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; }
while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; }
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法 MinDistance(A[0..n-1]) /