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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题20空间向量
1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. 【答案】C
C. D.
【解析】如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 不妨设BC=CA=CC1=1,可知点
A(0,1,1),N,B(1,0,1),M.
∴.
∴cos<>=.
根据的夹角及AN与BM所成角的关系可知,BM与AN所成角的余弦值为.
2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( ) A.3个
B.4个 C.5个
D.6个
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【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.
则D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),
A1(a,0,a),P,
则||=a,
||==a,
||=a,
||=||==a,
||=||=a,
||=a,
3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设CB=1,则CA=CC1=2.由题图知,A点的坐标为(2,0,0),B点的坐标为(0,0,1),B1点的坐标为(0,2,1),C1点的坐标为(0,2,0). 所以
=(0,2,-1),=(-2,2,1).
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所以cos<>=.
4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C
【解析】不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,
则B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1),
∴=(0,1,1),=(-1,0,1).
∴cos<∴<>=>=60°.
.
∴异面直线BA1与AC1所成的角为60°. 5.(2019·天津·理T17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.
【解析】(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以
的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角
坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).
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依题意,又
=(1,0,0)是平面ADE的法向量,
=0,又因为直线BF?平面ADE,所以BF∥平面ADE.
=(-1,0,2),
=(-1,-2,2).
=(0,2,h),可得
(2)解依题意,=(-1,1,0),
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,
则
可得n=(2,2,1).
不妨令z=1,
因此有cos<,n>==-.
所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. (3)解设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,
则
不妨令y=1,可得m=1,1,-
.
由题意,有|cos
解得h=,经检验,符合题意. 所以,线段CF的长为.
6.(2019·浙江·T 19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠
BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.
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