解函数不等式问题的一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M) 第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． 温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M) [方法与技巧] 13 1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断． 2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性． 3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法． [失误与防范] 1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点． 2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”． A组 专项基础训练 (时间：40分钟) 12x1．下列函数f(x)中，①f(x)＝；②f(x)＝(x－1)；③f(x)＝e；④f(x)＝ln(x＋1)，满足 x“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 解析 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 1 ①中，f(x)＝满足要求； x②中，f(x)＝(x－1)在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； ③中，f(x)＝e是增函数； ④中，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上是增函数． 2．已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞) 14 x2 解析 要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1. ?1?3．已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f?－?，b?2? ＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为______________． 答案 b ?1??5?解析 ∵函数图象关于x＝1对称，∴a＝f?－?＝f??，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ?2??2??5?∴f(2) 4．若函数f(x)＝x－2x＋m在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为________． 答案 －2 解析 ∵f(x)＝(x－1)＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f(3)＝1，即2＋m－1＝1，m＝－2. 5．已知函数f(x)＝2ax＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是__________． 3 答案 [0，] 4 解析 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数， 2 2 2 2 a>0，?? 当a≠0时，由?4a－3 －≥3，?4a? 3 综上a的取值范围是0≤a≤. 4 3 得0 4 x≥1，??log1x，26．函数f(x)＝???2x，x<1 答案 (－∞，2) 的值域为________． 解析 当x≥1时，f(x)＝log1x是单调递减的， 2此时，函数的值域为(－∞，0]； 当x<1时，f(x)＝2是单调递增的， 此时，函数的值域为(0,2)． 综上，f(x)的值域是(－∞，2)． x 15 1??x2＋a－2，x≤1，27．已知函数f(x)＝???ax－a，x>1，取值范围为________． 答案 (1,2] 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的 12x解析 由题意，得1＋a－2≤0，则a≤2，又y＝a－a (x>1)是增函数，故a>1，所以a的 2取值范围为1 ?1?x8．函数f(x)＝??－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． ?3? 答案 3 ?1?x解析 由于y＝??在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上 ?3? 单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 9．已知f(x)＝ xx－a(x≠a)． (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． (1)证明 任设x1 － x1＋2x2＋2 x1x2 2x1－x2 . x1＋2x2＋2 ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1) ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)解 任设1 x1x2 f(x1)－f(x2)＝－ x1－ax2－a＝ ax2－x1 . x1－ax2－a∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]． 10．设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x， y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1. 16