111?1?(2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在?，2?上的值域为[，2]，则a＝________. ax2?2?2
答案 (1)2 (2)
5
1
解析 (1)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；
x当x<1时，易知函数f(x)＝－x＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.
11?1?(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在?，2?上单调递增，
ax?2?1?1??f??2?＝2，
所以???
??f2＝2，
2
??
即?11??a－2＝2，
1
1－2＝，a2
2
解得a＝. 5
题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小
1
例4 已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则f(x1)________0，
1－xf(x2)________0.(判断大小关系)
答案 < >
解析 ∵函数f(x)＝log2x＋
1
在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， 1－x∴当x1∈(1,2)时，f(x1)
命题点2 解不等式
??1??例5 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f???? ??x?? ______________． 答案 (－1,0)∪(0,1) ??1??解析 由f(x)为R上的减函数且f???? x???? 1?????x?>1，得?????x≠0， ??|x|<1， 即? ?x≠0.? ∴－1 命题点3 求参数范围 9 例6 (1)如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是__________． ??2－ax＋1，x<1， (2)已知f(x)＝?x??a，x≥1， 2 满足对任意x1≠x2，都有 fx1－fx2 >0成立， x1－x2 那么a的取值范围是________． 3?1?答案 (1)?－，0? (2)[，2) 2?4? 解析 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 1 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－， a因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11 所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. a41 综合上述得－≤a≤0. 4 (2)由已知条件得f(x)为增函数， 2－a>0，?? ∴?a>1，??2－a×1＋1≤a， 33 解得≤a<2，∴a的取值范围是[，2)． 22 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 10 (1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函 数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是__________． (2)若f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝__________． 答案 (1)(8,9] (2)(0,1] 解析 (1)2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， 2 ax＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 x>0，?? 所以有?x－8>0， ??xx－8≤9， 2 解得8 (2)由f(x)＝－x＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1. ∵y＝1 在(－1，＋∞)上为减函数， x＋1 ∴由g(x)＝故0 ax＋1 在[1,2]上是减函数可得a>0， 1．确定抽象函数单调性解函数不等式 典例 (14分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a＋a－5)<2. 11 2 思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M) (1)证明 设x1，x2∈R，且x1 f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1] ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分] ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1) ∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，[8分] f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4， ∴f(1)＝2，∴f(a2 ＋a－5)<2＝f(1)，[11分] ∵f(x)在R上为增函数， ∴a2 ＋a－5<1?－3 12