优质文档
19. （1）证明：关键步骤：MN?BD,MN?BB1,则MN?BB1D.
（2）由已知可得四棱柱ABCD?A1B1C1D1为正方体，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面MDN的一
个法向量为n?(,,?1)，Q(0,1,2)，则面QMD的一个法向量为m?(,2,?1)，则
112212cos?n,m??314314，所以二面角Q?MD?N的余弦值为.
1414n＋1
20. (1) 解 由条件可得a2?5.∵2Sn＝an＋1－2两式相减整理得an＋1－3an＝2，则an?1?2n＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2＋1，
nnn?1an?1?2n?1?3(an?2)，又a2＋4＝9，知?3an?2na2?22（n?2），经计算当n?1时，?3也成立，所以
a1?2?an?2?是首项为3，公比为3的等比数列， n(2)法一：由2Sn＝an＋1－2法二：直接求和公式.
n＋1
＋1直接可得Sn?1n?1n?11?3?2? 22x2y2??121. 解：（1）42
（2）当PQ斜率不存在时，不合题意. 故设PQ为y?kx?b，(k?0,b?0),则M(?b,0)，设点P(x1,y1)，则P1(x1,?y1)，设kQ(x2,y2)，则PQ方程为y?y1?1n?y2?y1(x?x1)，令y?0，则
x2?x1y1(x2?x1)xy?xyx(kx?b)?x1(kx2?b)2kx1x2?b(x1?x2)?x1?2112?21?
y1?y2y1?y2k(x1?x2)?2bk(x1?x2)?2b?x2y2?1??222由?4得(1?2k)x?4kbx?2b?4?0，则 2?y?kx?b?4kb2b2?42kx1x2?b(x1?x2)4kb2?8k?4kb24kx1?x2??,xx?， ???121?2k21?2k2.则k(x1?x2)?2b?4k2b?2b?4k2bb优质文档
优质文档
故N(?4k,0)，所以mn?4.所以mn是定值，定值为4. bx?x22. 解：（1）f?(x)?e?be(ex)2?b?
ex①当b?0时，f?(x)?0，所以f(x)的增区间为(??,??)； ②当b?0时，减区间为(??,（2）由题意得e?exx?x11lnb),增区间为(lnb,??). 22?2asinx?0,x?(0,?)恒成立，
构造函数h(x)?e?e显然a?0时，e?ex?x?2asinx，x?(0,?)
?x?2asinx?0,x?(0,?)恒成立，下面考虑a?0时的情况.
h(0)?0，h?(x)?ex?e?x?2acosx，h?(0)?2?2a
当0?a?1时，h?(x)?0，所以h(x)?e?ex?x?2asinx在(0,?)为增函数，所以
h(x)?h(0)?0，即0?a?1满足题意；
当a?1时，h?(0)?2?2a?0，又h?()?0，所以一定存在x0?(0,??22)，h?(x0)?0，且
h?(x)?0,x?(0,x)0，所以h(x)在(0,x0)单调递减，所以h(x)?h(0)?0，x?(0,x0)，
不满足题意.综上，a取值范围为(??,1].
优质文档