x??t??
???kkii1?t2/2edt??(ki)??(?ki)?2?(ki)?1. 2? ?(ki)?(?i?1)/2.
代入?i的值查得?1?1.64,?2?1.96,?3?2.58.
解2 设Z?X?1~N(0,1),则Z~N(0,1). 2???ki???X????ki??????? ??????i?P(??ki??X???ki?)??P? ?P(?ki?Z?ki)??(ki)??(?ki)?2?(ki)?1. ?(ki)?(?i?1)/2.
代入?i的值查得?1?1.64,?2?1.96,?3?2.58.
28. 某商品的每包重量X~N(200,?2).若要求P{195?X?205}?0.98,则需要把?控制在什么范围内. 解 设Z?X?200?~N(0,1),则Z~N(0,1).
205?200??195?200P{195?X?205}?P??Z????(5/?)??(?5/?)?2?(5/?)?1.
????P{195?X?205}?0.98?2?(5/?)?1?0.98
?5/????1(0.99)?2.33???5/2.33?2.15.
28. 设X服从自由度为k的?2分布,即X有密度
pX(x)?12k/2?(k/2)xk/2?1e?x/2I(0,??)(x).
求Y?X/k的密度. 解1
当y?0时,FY(y)?P(Y?y)?P(X/k?y)?0,pY(y)?FY?(y)?0. 当y?0时,FY(y)?P(Y?y)?P(X/k?y)?P(X?ky2)?FX(ky2), pY(y)?FY?(y)?2kypX(ky2)?2ky?12k/2?1?ky2/2(ky)eI(0,??)(ky2) k/22?(k/2) ?因而
22?k/2?yk?1e?ky/2.
??k/2?k/2
pY(y)?
2?k/2?k/2??k/2?yk?1e?ky2/2I(0,??)(y).
解2 设V?(0,??),则P(X?V)?1.
设y?f(x)?x/k, x?V,则f有反函数
??f?1(y)?ky2, y?G,
其中G?{y?f(x):x?V}?(0,??).因而Y有密度 pY(y)?|??(y)|pX(?(y)IG(y)
222?k/2?1yk?1e?ky/2. ?2ky?k/2(ky2)k/2?1e?ky/2I(0,??)(ky2)???k/2?2?(k/2)k/2
29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为
pX(x)?4x2?3?e?x2/?2I(0,??)(x).
其中参数??0.求分子的动能Y?mX2/2的密度. 解1
当y?0时,FY(y)?P(Y?y)?P(mX2/2?y)?0,pY(y)?FY?(y)?0. 当y?0时,FY(y)?P(Y?y)?P(mX2/2?y)?P(X?2y/m)?FX(2y/m), pY(y)?FY?(y)? ?因而
pY(y)?4118y/m?2y/(m?2)pX(2y/m)?eI(0,??)(2y/m) 2my2my?3?2y?2y/(m?2)e. m3?18y/m?2y/(m?2)4e?2my?3??3?32y?2y/(m?2)eI(0,??)(y). m3?
解2 设V?(0,??),则P(X?V)?1.
设y?f(x)?mx/2, x?V,则f有反函数
2??f?1(y)?2y/m, y?G,
其中G?{y?f(x):x?V}?(0,??).因而Y有密度 pY(y)?|??(y)|pX(?(y)IG(y) ? ?
30. 设X服从[?1,2]上的均匀分布,Y?X2.求Y的分布.
118y/m?2y/(m?2)pX(2y/m)?eI(0,??)(2y/m) 2my2my?3?4?32y?2y/(m?2)eI(0,??)(y). m3?1解 X有密度PX(x)?I[?1,2}(x).Y有分布函数
3 FY(y)?P(Y?y) ?P(X2?y)
?I[0,??)(y)P(?y?X?y) ?I[0,??)(y)?y?yypX(x)dx
?I[0,??)(y)? ?I[0,1)(y)? ?
??1I(x)dx y3[?1,2]yy1411dy?I[1,4)(y)?dy?I[4,??)(y)?dy y3?13?132yI[0,1)(y)?3y?1I[1,4)(y)?I[4,??)(y). 331. 质点随机地落在中心在原点,半径为R的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.
解 设落点极坐标是(R,?),则?服从[0,2?]上的均匀分布,有密度
p?(?)?1I[0,2?](?). 2?设落点横坐标是X,则X?Rcos?,X的分布函数为
FX(x)?P(X?x)?P(Rcos??x).
当x??1时,FX(x)?0.当x?1时,FX(x)?1.当?1?x?1时
xx?1?x??FX(x)?P(Rcos??x)?P?arccos???2??arccos?????arccos?.
RR???R??因而落点的横坐标X有概率密度
?(x)?pX(x)?FX1?R?x.
22I(?1,1)(x).
34. 设随机变量X服从在[0,1]上的均匀分布,求Y??lnX的分布. 解 设V?(0,1),则P(X?V)?1.
设y?f(x)??lnx, x?V,则f有反函数
??f?1(y)?e?y, y?G,
其中G?{y?f(x):x?V}?(0,??).因而Y有密度
pY(y)?|??(y)|pX(?(y))IG(y)?e?yI[0,1](e?y)I(0,??)(y)?e?yI(0,??)(y).
36. 设X和Y独立,密度分别为pX(x)?I[0,1](x)和pY(y)?e?yI(0,??)(y),求Z?X?Y的密度. 解 pZ(z)?? ?? ??????????????pX(x)pY(z?x)dx
I[0,1](x)e?(z?x)I(0,??)(z?x)dx I[0,1](x)e?(z?x)I(??,z)(x)dx
z100 ?I[0,1)(z)?e?(z?x)dx?I[1,??)(z)?e?(z?x)dx ?I[0,1)(z)(1?e?z)?e?z(e?1)I[1,??)(z).
37. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图7.1所示.L1和L2的寿命为X和Y,分别