限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
x2y2b
1．(2018·广东肇庆质检)直线y＝x＋3与双曲线2－2＝1的交点个数是
aab( )
A．1 C．1或2
B．2 D．0
x2y2bb
解析：选A.因为直线y＝x＋3与双曲线2－2＝1的一条渐近线y＝xaaab平行，所以它与双曲线只有1个交点．
x2y2
2．(2018·福建厦门模拟)设F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、
ab右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ＝60°，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
1A. 323C.
3
2B． 3D．
3 3
解析：选D.∵|PF1|＝|PQ|，且∠F1PQ＝60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，∴△F1PQ的边长为
4a4a2a
，在△PF1F2中，|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|333
2
?4a?2?2a?2c1
＝2c，∴?3?－?3?＝(2c)2，即a2＝3c2，∴e2＝2＝，
a3????
3
∴e＝.
3
x2y2
3．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离
ab心率的取值范围为( )
A．(1，5) C．(5，＋∞)
B．(1，5] D．[5，＋∞)
bb
解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，
aac
所以e＝＝
a
?b?2
1＋?a?＞1＋4＝5.
??
4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 C．有且只有三条
B．有且只有两条 D．有且只有四条
解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若
?1?
?直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝kx－2?，代??
1
入抛物线y2＝2x得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和
4为2.所以k＝±2.所以这样的直线有两条．
5．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公x2y2
共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共
43点的个数为( )
A．0 C．2
B．1 D．1或2
3
解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为2a＋b2＞3，
所以a2＋b2＜3.
又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.
由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜3，|b|＜3，由椭圆的方程知其长半轴长为
2，短半轴长为3，
所以P(a，b)在椭圆内部，
x2y2
所以过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点有2个，故选C.
436．(2018·江西九江模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，→→
B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，BC＝λFB，则λ的值为( )
3A. 4C.3
3B． 2D．3
解析：选D.设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝42，直线AB的方程为y＝22(x－2)，令x＝－2，得C(－
2?y?＝8x，
2，－82)，联立方程?解得B(1，－22)，所以|BF|＝1＋2
??y＝22（x－2），
＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.
7．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－
3a
，则的值为( )
b23
A．－
2C．－
93
2
23B．－
3D．－
23
27
解析：选A.由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，
2222
y1)，B(x2，y2)，则有ax1＋by1＝0 ①，ax2＋by22＝0 ②，由①－②得a(x1－22x2)＝－b(y21－y2)．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠
y1＋y2y1－y2ax2，且x1＋x2≠0，所以·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则
bx1＋x2x1－x2
y02y0y1＋y233akOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，所以－×(－1)＝－，所以bx02x0x1＋x2223a
＝－，故选A. b2
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°， p??
??x－则直线l的方程为y－0＝32?， ?3
即y＝3x－p，联立抛物线方程，
2消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0， 31
则x1＝p，x2＝p，
2631p＋p|AF|22则＝＝3. |BF|11
p＋p26答案：3
9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l：y＝3(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝
16
，则p＝________． 3
|AF|
的值等于|BF|
2??y＝2px，
解析：由?消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，
?y＝3（x－1），?
2p＋6
y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝
32（x1＋x2）2－4x1x2＝2
（2p＋6）216
－4＝，所以p＝2. 93