十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题07 解三角形
一、选择题
1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=( ) A.6 【答案】A
【解析】由已知及正弦定理,得a-b=4c,
2221
由余弦定理的推论,得-=cos A=b+c-a,
2
2
2
14
bc
B.5 C.4 D.3
4
2bc2213c1∴c-4c=-,∴-=-,
2bc42b4∴=×4=6,故选A. c22.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC中,cos C=√5,BC=1,AC=5,则AB=( )
2
5
b3
A.4√2 【答案】A
B.√30 C.√29 D.2√5
【解析】∵cos C=2cos-1=-,∴AB=BC+AC-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32. 22C
3
5222
35∴AB=4√2.
3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC的内角A,B,C的对
222
边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a+b-c,则C=( )
4
A.2 C.4 【答案】C
π
π
B.3 D.6 π
π
222
【解析】由S=a+b-c=1absin C,得c2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
42∴sin C=cos C,即C=4.
4.(2017·山东·理T9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
π
A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【答案】A
【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C,
又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A.
5.(2017·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.12 【答案】B
【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理sinA=sinC,得
π
3π4a
c
23πsin4π
B.6 π
C.4 π
D.3
π
=sinC,即sin C=1,所以C=π,故选B.
6213√26.(2016·全国3·理T8)在△ABC中,B=4,BC边上的高等于BC,则cos A=( ) A.
3√10 10B.
√1010 C.-
√1010 D.-
3√10 10【答案】C
【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,
所以AC=√AD2+DC2=√5AD,AB=√2AD.
222
由余弦定理,得cos A=AB+AC-BC
2AB·AC222
=2AD+5AD-9AD=-√10,故选C.
2×√2AD×√5AD107.(2016·全国3·文T9)在△ABC中,B=4,BC边上的高等于BC,则sin A=( ) A. 【答案】D
310
π
13B.√10 10C.√5 5D.3√10
10【解析】记角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则由题意,得S△ABC=a·=acsin B,
232∴c=a.∴b=a+(
3√22
2
1a1
√2a)-2a·3·2=32
√2a√25a2
,即9b=
√5aa
.由正弦定理
sinA3=
b
,得sinBasinB
sin A=b=
a×2√5a√23=10.3√10故选D.
8.(2016·全国1·文T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=,则b= ( ) A.√2 【答案】D
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即5=b+4-4b×3,即3b-8b-3=0, 又b>0,解得b=3,故选D.
9.(2016·天津·理T3)在△ABC中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A
【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC,∴AC=1.故选A.
10.(2016·山东·文T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a=2b(1-sin A),则A=( ) A. 【答案】C
【解析】由余弦定理可得a=b+c-2bccos A, 又因为b=c,
所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A). 由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A∈(0,π),所以A=4.
11.(2015·广东·文T5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√3且b 2b=( ) A.3 【答案】C B.2√2 C.2 D.√3 π 2 2 2 2 2 2 23B.√3 C.2 D.3 2 2 3π4B.3 π C.4 π D.6 π 【解析】由余弦定理a=b+c-2bccos A,得b-6b+8=0,解得b=2或4.因为b 2A.5 【答案】B 【解析】由题意知S△ABC=AB·BC·sin B, 即=×1×√2sin B,解得sin B=. 222则B=45°或B=135°. 当B=45°时,AC=AB+BC-2AB·BC·cos B=1+(√2)-2×1×√2× 2 2 2 2 2 2222 1 B.√5 C.2 D.1 1 211√2√22=1, 此时AC+AB=BC,△ABC为直角三角形,不符合题意; 当B=135°时,AC=AB+BC-2AB·BC·cos B=1+(√2)-2×1×√2×(-2)=5,解得AC=√5,符合题意.故选B. 2 2 2 2 2 222 √213.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( ) A.240(√3-1) m B.180(√2-1) m C.120(√3-1) m D.30(√3+1) m 【答案】C 【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60√3(m), DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°) =60× tan45°-tan30°1+tan45°tan30° =60× 1-3√3√31+3=(120-60 √3) m.所以 BC=DC-DB=60√3-(120-60√3)=120√3-120=120(√3-1)(m),故选C.