2016年高考数学理试题分类汇编
概率
1.（2016年北京高考）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C
2.（2016年北京高考） A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A班 B班 C班 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记?1 ，表格中数据的平均数记为?0 ，试判断?0和?1的大小，（结论不要求证明） 解析】⑴
8?100?40，C班学生40人 201⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
5设A班中取到第i个人事件为Ai,i?1,2,3,4,5
C班中取到第j个人事件为Cj,j?1,2,3,4,5,6,7,8 A班中取到Ai?Cj的概率为Pi
所求事件为D
11111则P(D)?P?P?P?P?P5 1234555551213131314?????????? 58585858583? 8⑶?1??0
三组平均数分别为7,9,8.25,总均值?0?8.2
但?1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比?0小，
故拉低了平均值
3.（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是
23，乙每轮猜对的概率是；每轮43活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；
(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX．
【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”． 设“至少猜对3个成语”为事件A；
“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件B,C，
1则P(B)?C2?3321513122????C2?????；
443344331233221P(C)?????．
44334所以P(A)?P(B)?P(C)?512??． 1243(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是P(X?0)?11111????； 43431441051121111131P(X?1)?C2????C2?????；
4343434314472112233112511321P(X?2)?????????C2????； 44334433443314412113211P(X?3)?C2?????； 4343144121231605132P(X?4)?C2??(???)??；
434343144123232361P(X?6)??????；
43431444X的分布列为：
X P
0 1 2 3 4 6 1 1445 7225 1441 125 121 4X的数学期望EX?
152515155223?0??1??2??3??4??6??． 144721441212414464.（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的
人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 【解析】（Ⅰ）设事件A：选2人参加义工活动，次数之和为4 12C113C4?C3? P?A?? 2C103（Ⅱ）随机变量X可能取值 0，1，2 222C3?C3?C44? P?X?0?? 2C1015111C173C3?C3C4? P?X?1??2C10151C143C4 P?X?2??2?
C1015X 0 1 2 474P 15 15 15 E?X??
78??1 15155、（2016年全国I高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损
零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集
并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求X的分布列；
（II）若要求P(X?n)?0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n?19与n?20之中选其一，应选用哪个？
解：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件Ai为第一台机器3年内换掉i?7个零件?i?1,2,3,4? 记事件Bi为第二台机器3年内换掉i?7个零件?i?1,2,3,4?
由题知P?A1??P?A3??P?A4??P?B1??P?B3??P?B4??0.2，P?A2??P?B2??0.4
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22
P?X?16??P?A1?P?B1??0.2?0.2?0.04
P?X?17??P?A1?P?B2??P?A2?P?B1??0.2?0.4?0.4?0.2?0.16
P?X?18??P?A1?P?B3??P?A2?P?B2??P?A3?P?B1??0.2?0.2?0.2?0.2?0.4?0.4?0.24P?X?19??P?A1?P?B4??P?A2?P?B3??P?A3?P?B2??P?A4?P?B1??0.2?0.2?0.2?0.2?0.4?0.2?0.2?0.4?0.24
P?X?20??P?A2?P?B4??P?A3?P?B3??P?A4?P?B2??0.4?0.2?0.2?0.4?0.2?0.2?0.2P?x?21??P?A3?P?B4??P?A4?P?B3??0.2?0.2?0.2?0.2?0.08 P?x?22??P?A4?P?B4??0.2?0.2?0.04
17 18 19 20 21 22 X 16 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
⑵ 要令P?x≤n?≥0.5，Q0.04?0.16?0.24?0.5，0.04?0.16?0.24?0.24≥0.5 则n的最小值为19