第3讲 平面向量
3?→?31?→?1
1．(2016·课标全国丙)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC等于( )
?22??22?
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 A
→→
解析 ∵|BA|＝1，|BC|＝1，
→→BA·BC3
cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.
→→2|BA|·|BC|
1
2．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则
3
实数t的值为( )
99
A．4 B．－4 C. D．－
44
答案 B
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|
2
2
3122
＝0，由已知得t×|n|×＋|n|＝0，解得t＝－4，故选B.
43
3．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连
→→
接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
1 B. 811 D.
8
5A．－
81C. 4
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4．(2016·浙江)已知向量a，b， 答案 B
解析 如图所示，→AF＝→AD＋→
DF.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以→AD＝1→
2
AB，
＝→DE＋→EF＝→DE＋1→→2
DEDF
＝3→3→2DE＝4AC，
所以→AF＝1→3→
2AB＋4AC.
又→BC＝→AC－→
AB，
则→AF·→BC＝??1→3→?2AB＋4AC??→→?·(AC－AB)
＝1→2AB·→AC－1→23→23→→
2AB＋4AC－4
AC·AB
＝3→21→4AC－21→→
2AB－4
AC·AB.
又|→AB|＝|→
AC|＝1，∠BAC＝60°， 故→AF·→BC＝311
114－2－4×1×1×2＝8
. 故选B.
a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋
|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．
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| 答案
12
解析 由已知可得：
≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，6
由于上式对任意单位向量e都成立．
∴6≥|a＋b|成立．
∴6≥(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝1＋2＋2a·b.
1
即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.2
2
2
2
2
2
1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为
工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
热点一 平面向量的线性运算
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1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目
转化．
2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向
被减向量．
π
例1 (1)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝
2
______.
→→
(2)(2016·课标全国乙)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( )
→1→4→ B.AD＝AB－AC
33→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
1→4→→
A.AD＝－AB＋AC
33→4→1→C.AD＝AB＋AC
331
答案 (1) (2)A
2 解析 (1)因为a∥b，
所以sin 2θ＝cosθ，2sin θcos θ＝cosθ.
π
因为0<θ<，
2 所以cos θ>0，
1
得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.2→→→→→→
(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→
即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.
33
思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活
运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
跟踪演练1 (1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中
→→→
点，若AO＝λAB＋μBC，则λ＋μ等于( )
1 B. 22 D. 3
A．1 1C. 3
2
2
→
(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF等于( )
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