x2y224.【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(?c,0),离心
abb434322率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=.
334(I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
x2y23??1 ；(III) 【答案】(I) ； (II)
332?23??223?,???,??U??.
333????c21【解析】(I) 由已知有2?，又由a2?b2?c2，可得a2?3c2，b2?2c2，
a3设直线FM的斜率为k(k?0)，则直线FM的方程为y?k(x?c)，由已知有
?kc??c??b?3k???，解得. ?2?????322?k?1?????222x2y2(II)由(I)得椭圆方程为2?2?1，直线FM的方程为y?k(x?c)，两个方程联立，消去y，整理得
3c2c?23?53x2?2cx?5c2?0，解得x??c或x?c，因为点M在第一象限，可得M的坐标为?c,c?，由
3?3??23?x2y243??1 ，解得c?1，所以椭圆方程为FM?(c?c)??c?0??3233??y(III)设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为t，得t?，即y?t(x?1)(x??1),与椭圆方程联立
x?122?y?t(x?1)26?2x?2222?2，解得 ，消去y，整理得2x?3t(x?1)?6，又由已知，得t??xy223(x?1)??1?2?3?3?x??1或?1?x?0， 2设直线OP的斜率为m，得m?y22，即y?mx(x?0)，与椭圆方程联立，整理可得m2?2?. xx3?223?22?，得m??,? x2333???3?①当x???,?1?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m??2?
②当x???1,0?时，有y?t(x?1)?0，因此m?0，于是m???2223??，得m???,??? x233??综上，直线OP的斜率的取值范围是???,???23??223?,?U??
3??33?【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.
x2y225.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2,过F2ab的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ?PF1yP[来源:Z,xx,k.Com]
F1OF2xQ
（1）若PF1?2?2,PF2?2?2，求椭圆的标准方程
e. （2）若PF1?PQ,求椭圆的离心率
x22+y=1；【答案】（1）（2）6?3 4【解析】
试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数a的值，而由PQ?PF1，应用勾股定理可得焦距，即c的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到
关于a,b,c的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设PF则PF2?2a?m，1?m，
QF2?PQ?PF2?m?(2a?m)?2m?2a，于是有QF1?2a?QF2?4a?2m，这样在Rt?PQF1中
求得m?2(2?2)a，在Rt?PF1F2中可建立关于a,c的等式，从而求得离心率. (1)由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4，故a=2.
设椭圆的半焦