从洛必达法则谈起

XXXX数学与计算科学学院2011届毕业论文

由(2)式知,上式右边第一个因子是有界量,而第二个因子对固定的x1,由题设条件(1)

?知它当x?a时是无穷小量,因此???0,当a?x?a???x1时,有

f(x)f(x1)?f(x)??? (3) g(x)g(x1)?g(x)2综合(2)、(3)两式知,对一切满足a?x?a??的x均有

f(x1)?f(x)f(x)f(x)f(x1)?f(x)???A????A???? g(x)g(x)g(x1)?g(x)g(x1)?g(x)22f(x)f'(x)?lim?A ?x?ag(x)g'(x)所以 lim?x?a同理可证A为?或??得情形. 例2.2.1 求 limlnx.

x???x33解:当x??时,lnx?0和x?0,是

?型未定式,由洛必达法则Ⅱ,有 ?1lnx(lnx)'x?lim1?0. lim3?lim?limx???xx???(x3)'x???3x2x???3x3注 对

?0f'(x)仍是型未定式的情况,类似于型未定式,只要满足法则的条件,洛

0?g'(x)必达法则也可以多次使用.

ln(1?x2)例2.2.2 求 lim.

x??2x解:由洛必达法则Ⅱ,有

2x2ln(1?x)x1?x lim?lim?lim2x??x??x??2x21?x1?0 ?limx??2x2注:定理2.1和定理2.2中的条件是求极限得充分条件,而非必要条件,limx?af'(x)不g'(x)存在或非?并不能说明原式limx?af(x)不存在,因此,在应用洛必达法则时,要注意检查是g(x)否合法则中的3个条件,当条件不具备时,应转用其他的方法.

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2.3 其他型未定式

洛必达法则不仅可以用来解决

0?型和型未定式的极限问题,还可以用来解决其他类0?00?型未定式的极限.例如:0??型、???型、0型、?型、1型等.在求这些未定式的极限时,通常可以经过适当的变形,先将它们转化成吗.下面每一类型举一例子加以说明.

0?型或型,再用洛必达法则进行计算0?xlnx. 例2.3.1 求 lim?x?0解:这是0??型未定式,可先将其转化成

?型: ?lnx. limxlnx?limx?0?x?0?1x由洛必达法则Ⅱ,有

1lnx(lnx)'x?lim(?x)?0 limxlnx?lim?lim?lim?x?0?x?0?1x?0?1x?0?1x?0?()'xxx221?). 例2.3.2 求极限 lim(2x?1x?1x?1解:这是???型未定式,通过恒等变形,可得

lim(x?1212?(x?1)?)?lim.

x?1x2?1x?1x2?1由洛必达法则Ⅰ,有

limxx?02?(x?1)1?x?11?lim?lim??

x?1x?1x2?1x?1x?1x2?12x. 例2.3.3 求lim?解:这是0型未定式,由于被求函数是幂指函数的形式,可先将其变形为exxlnxlimx?lime, ??x?00xlnx,即

x?0xxlnx是0??型未定式,又由于e是连续函数,所以,可以先求指数的极限,指数极限lim?x?0由例2.3.1可得

x?0?limxlnx?0,

因而

x?0xxlnxx?0?limx?lime?e??x?0limxlnx?e0?1

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() 例2.3.4 求lim?x?001xtanx.

解:这是?型未定式,先 转化成指数形式:

1tanxln1tanxx

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