XXXX数学与计算科学学院2011届毕业论文
由(2)式知，上式右边第一个因子是有界量，而第二个因子对固定的x1，由题设条件（1）
?知它当x?a时是无穷小量，因此???0，当a?x?a???x1时，有
f(x)f(x1)?f(x)??? （3） g(x)g(x1)?g(x)2综合（2）、（3）两式知，对一切满足a?x?a??的x均有
f(x1)?f(x)f(x)f(x)f(x1)?f(x)???A????A???? g(x)g(x)g(x1)?g(x)g(x1)?g(x)22f(x)f'(x)?lim?A ?x?ag(x)g'(x)所以 lim?x?a同理可证A为?或??得情形. 例2.2.1 求 limlnx.
x???x33解：当x??时，lnx?0和x?0，是
?型未定式，由洛必达法则Ⅱ，有 ?1lnx(lnx)'x?lim1?0. lim3?lim?limx???xx???(x3)'x???3x2x???3x3注 对
?0f'(x)仍是型未定式的情况，类似于型未定式，只要满足法则的条件，洛
0?g'(x)必达法则也可以多次使用.
ln(1?x2)例2.2.2 求 lim.
x??2x解：由洛必达法则Ⅱ，有
2x2ln(1?x)x1?x lim?lim?lim2x??x??x??2x21?x1?0 ?limx??2x2注：定理2.1和定理2.2中的条件是求极限得充分条件，而非必要条件，limx?af'(x)不g'(x)存在或非?并不能说明原式limx?af(x)不存在，因此，在应用洛必达法则时，要注意检查是g(x)否合法则中的3个条件，当条件不具备时，应转用其他的方法.
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2.3 其他型未定式
洛必达法则不仅可以用来解决
0?型和型未定式的极限问题，还可以用来解决其他类0?00?型未定式的极限.例如：0??型、???型、0型、?型、1型等.在求这些未定式的极限时，通常可以经过适当的变形，先将它们转化成吗.下面每一类型举一例子加以说明.
0?型或型，再用洛必达法则进行计算0?xlnx. 例2.3.1 求 lim?x?0解：这是0??型未定式，可先将其转化成
?型： ?lnx. limxlnx?limx?0?x?0?1x由洛必达法则Ⅱ，有
1lnx(lnx)'x?lim(?x)?0 limxlnx?lim?lim?lim?x?0?x?0?1x?0?1x?0?1x?0?()'xxx221?). 例2.3.2 求极限 lim(2x?1x?1x?1解：这是???型未定式，通过恒等变形，可得
lim(x?1212?(x?1)?)?lim.
x?1x2?1x?1x2?1由洛必达法则Ⅰ，有
limxx?02?(x?1)1?x?11?lim?lim??
x?1x?1x2?1x?1x?1x2?12x. 例2.3.3 求lim?解：这是0型未定式，由于被求函数是幂指函数的形式，可先将其变形为exxlnxlimx?lime， ??x?00xlnx，即
x?0xxlnx是0??型未定式，又由于e是连续函数，所以，可以先求指数的极限，指数极限lim?x?0由例2.3.1可得
x?0?limxlnx?0，
因而
x?0xxlnxx?0?limx?lime?e??x?0limxlnx?e0?1
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() 例2.3.4 求lim?x?001xtanx.
解：这是?型未定式，先 转化成指数形式：
1tanxln1tanxxlim()?lime， ??x?0xx?0其中，tanxln1?是0??型未定式，转化成型后，由洛必达法则可得 x?11lnx?(?2)1x?limx?limsinx?sinx?0 limtanxln?limx?0?x?0?xx?0?cotxx?0??1x2sinx1所以
limtanxln1tanxxx?0?lim()?e?e0?1. ?x?0x 例2.3.5 求极限 limxx?1?11?x.
lnx1?x解：这是1型未定式，先将幂指函数转化成e，即
lnx1?xlimxx?111?x?limex?1，
其中，
lnx0是型未定式，由洛必达法则Ⅰ，有 1?x01lnxlim?limx??1， x?11?xx?1?111?xlnx1?x故
limxx?1?limex?1?e?1
?注 一般地，求幂指函数形式未定式0型，?型，1型的极限大致可分为以下3个步骤：
（1）通过恒等变形将幂指函数转化成指数形式，即f(x)g(x)00?eg(x)lnf(x)；
（2）先求指数的极限limg(x)lnf(x)（一般为0??型）； （3）由指数函数的连续性求出幂指函数的极限：limf(x)
g(x)?elimg(x)lnf(x).
3施笃兹定理及其应用
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3.1施笃兹定理的证明
洛必达法则解决了分子、分母均可导的形如等可通过适当的变换转化为
0?0和（其他如0??型、???型、0型0?0?或）的一些问题，但对于某些类型（包括常见类型）的数0?列极限或是非可导函数的极限计算问题，应用上述法则或是教科书中介绍的其他方法可能显得比较赘繁，相比之下，用施笃兹定理则显得较为简单.
定理3.1.1(
?型的Stolz定理) 设数列{xn}严格递增（即?n?N，有xn?xn?1），且?n??limxn???，若limn??yn?yn?1y?l，则有limn?l（其中l为有限数，??或??）.
n??xxn?xn?1n定理3.1.2(
0型的Stolz定理) 设n??时，yn?0，数列{xn}严格递减且0limxn?0，若limn??n??yn?yn?1y?l，则limn?l（其中l为有限数，??或??）.
n??xxn?xn?1n为了证明定理3.1.1，先做一些准备.
定义：设给定一个有非负实数排列成的无穷三角形数表（或称无穷三角阵）：
?t11??t?t2122????? ????tt?tn1n2nn??????????如果这数表满足条件：（1）
?tk?1nnk?1，?n?N；
（2）对任意给定的正整数k都有limtnk?0；那么就把这样的数表{tnk}称做托普里兹数表
x??或托普里兹数阵，并把数列变换(?n??tk?1nnk?k(n?1,2,???))称做托普里兹变换.
引理3.1.1：设{tnk}是任意一个托普里兹数表，{?n}是任意一个无穷小数列，并设
?n??tnk?k(n?1,2,???)，则有lim?n?0.
k?1x??n引理3.1.2：设{tnk}是任意一个托普里兹数表，{un}是收敛于l的实数数列，
Vn??tnkuk，(n?1,2,???)，则limVn?l.
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