2014期末试卷力学部分

∴ ??(2)由机械能守恒定律,有

3g 2lmg∴ ??l11sin??(ml2)?2 2233gsin? l1326. 一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动.抬起另一端使棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将棒释放.已知棒对轴的转动惯量为ml,其中m和l分别为棒的质量和长度.求:

(1) 放手时棒的角加速度;

(2) 棒转到水平位置时的角加速度.

解:设棒的质量为m,当棒与水平面成60°角并开始下落时,根据转动定律

M?J? 2分

其中 M?1mglsin30??mgl/4 2分 2M3g??7.35 rad/s2 2分 于是 ??J4l1当棒转动到水平位置时, M?mgl 2分

2M3g??14.7 rad/s2 2分 那么 ??J2l

???????7. 物体质量为3kg,t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s?1,如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相对z轴角动量的变化.

??3???1 解: (1) ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s

0(2)解(一) x?x0?v0xt?4?3?7

115y?v0yt?at2?6?3???32?25.5j

??2??23?即 r1?4i,r2?7i?25.5j

vx?v0x?1

5vy?v0y?at?6??3?11

??3????即 v1?i1?6j,v2?i?11j

???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k

????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k

????2?1∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m?s

dz解(二) ∵M?

dt??t?t?∴ ?L??M?dt??(r?F)dt

00

?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023??

??3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?130

8. 一均匀木杆,质量为m1 = 1 kg,长l = 0.4 m,可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴,在竖直平面内转动.设杆静止于竖直位置时,一质量为m2 = 10 g的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计),子弹初速度的大小v0 = 200 m/s,方向与杆和轴均垂直.穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s,但方向未变,求

(1) 子弹刚穿出的瞬时,杆的角速度的大小. (2) 木杆能偏转的最大角度。

(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = / m1l 212) 解:(1)在子弹通过杆的过程中,子弹与杆系统因外力矩为零,故角动量守恒.

则有 m2v 0 l / 4 = m2vl / 4 +J? 3分

??m2l?v0?v?3m2?v0?v? =11.3rad/s 2分 ?4Jm1l (2)偏转过程中,机械能守恒.

11J?2?mg(1?cos?) 3分 22 cos??1?l2? 3g ??137.5? 2分

9.一振幅为 10 cm,波长为200 cm的一维余弦波.沿x轴正向传播,波速为 100 cm/s,在t = 0时原点处质点在平衡位置向正位移方向运动.求

(1) 原点处质点的振动方程.

(2)波动方程 (3) 在x = 150 cm处质点的振动方程.

解答及评分标准:

解:(1) 振动方程: y?Acos(?t??0) A = 10 cm,

? = 2?? =?? s1,? = u / ? = 0.5 Hz (2分)

-

1? (2分) 21故得原点振动方程: y?0.10cos(?t??) (SI) (2分)

2x1)?π](SI) (2分) (2) 波动方程y?0.10cos[π(t?10023(3) x = 150 cm处相位比原点落后?, 所以

213(t????)?0.10cos?(t?2?) (SI) (2分) y?0.10cos?22也可写成 y?0.10cos?t (SI)

初始条件得 ?0??

10.一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅为A,频率为? ,

波速为u.设t = 0时刻的波形曲线如图所示.求 (1) x = 0处质点振动方程;

(2) 该波的表达式.

y u O t=0 x

解:(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 y?Acos2(??t??)

由图可知,t = 0时 y?Acos(??)?0 dy/dt??2π?Asin(??)?0 所以 ??12π x = 0处的振动方程为 y?Acos[2π?t?12π] (2) 该波的表达式为 y?Acos[2π?(t?x/u)?12π]

(2分)

(2分) (3分)

(3分)

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