应用统计学习题及参考答案(2015)

7.设X1,X2,?,Xn为来自泊松分布?(?)的一个样本,求E(X),?2(X)。 解:由泊松分布E(X)??,?2(X)?? 知E(X)?E(X)??,?(X)?2?2(X)n??/n

8.某地区平均每户存款额为1500元,存款的标准差为200元。今从该地区抽取100户调查,那么这100户平均存款额大于1575元的概率是多少? 解:p{X?1575}?0.0001

9.设某厂生产的产品中次品率为5%。现抽取了一个n?200的随机样本。求样本中次品所占的比率p小于6%的概率有多大?

解:由np?10?5,n(1?p)?5,得p{p?0.06}?0.7422

第五章

1.设X1,X2,?,Xn是来自分布N(0,?2)的样本,求?的极大似然估计量。

21n2解:???xi

ni?1?22.设X1,X2,?,Xn是来自分布N(?,?2)的样本,?和?都未知,求p{X?t}的极大似然估计量。

2???X??t??t??解:p{X?t}?p{???}??(?)??(1nt??xini?112(x?x)?ini?1n???)

3.已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布,在某月生产的该种灯泡中随机地抽取10只,测得其寿命为(单位:h):

1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948

设总体参数都未知,试用极大似然估计法估计这个月生产的灯泡能使用1300h以上的概率。

}=0.0076 解: p{X?13004.给定一个容量为n的样本,试用极大似然估计法估计总体的未知参数?。设总体的概率密度为:

??x??1,0?x?1;?f(x)???0,其它。?(1)

?(??)x??1e??x?,x?0(?已知);?f(x)???0,其它。?(2)

?x?x2(2?2),x?0;?2ef(x)????其它。?0,(3)

解:

(1)首先列出似然函数:L(?)??(nnn?x)?ii?1?1,则:

lnL(?)?nln??(??1)ln?lnxi

i?1dlnL(?)nn则似然方程:???lnxi)?0

d??i?1???解出 ?n?lnxi?1n

i(2)略 (3)略

5.设总体X的数学期望E(X)存在,X1和X2是容量为2的样本,试证统计量

13X1?X24412d2(X1,X2)?X1?X2

3311d3(X1,X2)?X1?X222d1(X1,X2)?都是总体期望的无偏估计量,并说明哪一个有效。

解:首先证明E[di(X1,X2)]?E(X),再比较D[di(X1,X2)]。

n1???Xi??为6.设总体X服从分布N(?,?),X1,X2,?,Xn是其样本。求k,使?ki?12?的无偏估计量。

解:k?n2?

7.设X1,X2,?,Xn为指数分布

x?1???f(x)???e(x?0)

??0(其他)的一个样本,试验证样本平均值X是?的极小方差无偏估计量。 解:略

8.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(单位:h)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设干燥时间总体服从正态分布N(?,?)。求?的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知?=0.6(h),(2)若?为未知。 解:(1)置信度为0.95的置信区间(5.608,6.392) (2)置信度为0.95的置信区间(5.5619,6.4381)

9.为了测定甲、乙两厂生产的某种材料的拉力强度是否相同,要求对两厂的产品拉力强度相差多少作出估计。于是从甲厂抽25个样品,乙厂抽取16个样品,测试结果甲厂平均拉力22公斤,乙厂平均拉力20公斤,根据过去的经验两个工厂的方差均为10公斤。设拉力强

2度服从正态分布。试对两个总体均值之差构造95%置信区间。

解:两个正太总体均值差区间估计,且总体方差已知,置信区间为

[(X?Y)?z??122n1?2?2n2],得95%置信区间为(0.016,3.984)

10.甲、乙两厂生产同种型号电池。从甲厂抽取36个检查,平均使用寿命150小时,标准差为8小时。从乙厂抽取30个检查,平均使用寿命为140小时,标准差为6小时。设电池寿命服从下正态分布,试在置信度为0.95时求:

(1)两厂家电池产品的平均使用寿命之差的置信区间。(设两厂电池使用寿命方差相同。) (2)甲厂生产的电池使用寿命方差的置信区间。 (3)两厂家电池使用寿命方差之比的置信区间。 解:(1)两个正太总体均值差区间估计,方差未知但相同,置信区间为

2[(X?Y)???(n1?n2?2)?s?211?],得置信度为0.95的置信区间为(6.5293,n1n213.4707)。

S2(n?1)S2(n?1),],(2)置信区间为[2得置信度为0.95的置信区间为(42.10,108.90)

??(n?1)?12??(n?1)22(3)置信区间为[F1??222S12/S2S12/S2,],得置信度为0.95的置信区间

(n1?1,n2?1)F?(n1?1,n2?1)2为(0.8630,3.5641)。 11.(1)求8题中?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。

(2)求10题中乙厂电池使用寿命方差?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。 (3)求10题中两厂家电池使用寿命方差比?甲?乙的置信度为0.95的置信上限。 解:(1)①方差已知。对1??有p{222

X???/n?z1??}?1??,具有置信上限的置信区间为

[0,X??nz1??],即(0,6.329)。

②方差未知,对1??有p{X??S/n?t1??(n?1)}?1??,具有置信上限的置信区间为

[0,X?Snt1??(n?1)],即(0,6.3533)。

S2(n?1)(2)对1??有p{?2??12??(n?1)}?1??,具有置信上限的置信区间为

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