7．设X1,X2,?,Xn为来自泊松分布?(?)的一个样本，求E(X),?2(X)。 解：由泊松分布E(X)??,?2(X)?? 知E(X)?E(X)??,?(X)?2?2(X)n??/n
8．某地区平均每户存款额为1500元，存款的标准差为200元。今从该地区抽取100户调查，那么这100户平均存款额大于1575元的概率是多少？ 解：p{X?1575}?0.0001
9．设某厂生产的产品中次品率为5%。现抽取了一个n?200的随机样本。求样本中次品所占的比率p小于6%的概率有多大？
解：由np?10?5,n(1?p)?5，得p{p?0.06}?0.7422
第五章
1．设X1,X2,?,Xn是来自分布N(0,?2)的样本，求?的极大似然估计量。
21n2解：???xi
ni?1?22．设X1,X2,?,Xn是来自分布N(?,?2)的样本，?和?都未知，求p{X?t}的极大似然估计量。
2???X??t??t??解：p{X?t}?p{???}??(?)??(1nt??xini?112(x?x)?ini?1n???)
3．已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布，在某月生产的该种灯泡中随机地抽取10只，测得其寿命为（单位：h）：
1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948
设总体参数都未知，试用极大似然估计法估计这个月生产的灯泡能使用1300h以上的概率。
}=0.0076 解： p{X?13004．给定一个容量为n的样本，试用极大似然估计法估计总体的未知参数?。设总体的概率密度为：
??x??1,0?x?1；?f(x)???0，其它。?（1）
?(??)x??1e??x?,x?0(?已知)；?f(x)???0，其它。?（2）
?x?x2(2?2),x?0；?2ef(x)????其它。?0，（3）
解：
（1）首先列出似然函数：L(?)??(nnn?x)?ii?1?1，则：
lnL(?)?nln??(??1)ln?lnxi
i?1dlnL(?)nn则似然方程：???lnxi)?0
d??i?1???解出 ?n?lnxi?1n
i（2）略 （3）略
5．设总体X的数学期望E(X)存在，X1和X2是容量为2的样本，试证统计量
13X1?X24412d2(X1,X2)?X1?X2
3311d3(X1,X2)?X1?X222d1(X1,X2)?都是总体期望的无偏估计量，并说明哪一个有效。
解：首先证明E[di(X1,X2)]?E(X)，再比较D[di(X1,X2)]。
n1???Xi??为6．设总体X服从分布N(?,?)，X1,X2,?,Xn是其样本。求k，使?ki?12?的无偏估计量。
解：k?n2?
7．设X1,X2,?,Xn为指数分布
x?1???f(x)???e(x?0)
??0(其他)的一个样本，试验证样本平均值X是?的极小方差无偏估计量。 解：略
8．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设干燥时间总体服从正态分布N(?,?)。求?的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知?=0.6（h），（2）若?为未知。 解：（1）置信度为0.95的置信区间（5.608，6.392） (2)置信度为0.95的置信区间（5.5619，6.4381）
9．为了测定甲、乙两厂生产的某种材料的拉力强度是否相同，要求对两厂的产品拉力强度相差多少作出估计。于是从甲厂抽25个样品，乙厂抽取16个样品，测试结果甲厂平均拉力22公斤，乙厂平均拉力20公斤，根据过去的经验两个工厂的方差均为10公斤。设拉力强
2度服从正态分布。试对两个总体均值之差构造95%置信区间。
解：两个正太总体均值差区间估计，且总体方差已知，置信区间为
[(X?Y)?z??122n1?2?2n2]，得95%置信区间为（0.016，3.984）
10．甲、乙两厂生产同种型号电池。从甲厂抽取36个检查，平均使用寿命150小时，标准差为8小时。从乙厂抽取30个检查，平均使用寿命为140小时，标准差为6小时。设电池寿命服从下正态分布，试在置信度为0.95时求：
（1）两厂家电池产品的平均使用寿命之差的置信区间。（设两厂电池使用寿命方差相同。） （2）甲厂生产的电池使用寿命方差的置信区间。 （3）两厂家电池使用寿命方差之比的置信区间。 解：（1）两个正太总体均值差区间估计，方差未知但相同，置信区间为
2[(X?Y)???(n1?n2?2)?s?211?]，得置信度为0.95的置信区间为（6.5293，n1n213.4707）。
S2(n?1)S2(n?1),]，（2）置信区间为[2得置信度为0.95的置信区间为（42.10，108.90）
??(n?1)?12??(n?1)22（3）置信区间为[F1??222S12/S2S12/S2,]，得置信度为0.95的置信区间
(n1?1,n2?1)F?(n1?1,n2?1)2为（0.8630，3.5641）。 11．（1）求8题中?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。
（2）求10题中乙厂电池使用寿命方差?的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。 （3）求10题中两厂家电池使用寿命方差比?甲?乙的置信度为0.95的置信上限。 解：（1）①方差已知。对1??有p{222
X???/n?z1??}?1??，具有置信上限的置信区间为
[0,X??nz1??]，即（0，6.329）。
②方差未知，对1??有p{X??S/n?t1??(n?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为
[0,X?Snt1??(n?1)]，即（0，6.3533）。
S2(n?1)（2）对1??有p{?2??12??(n?1)}?1??，具有置信上限的置信区间为