概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名
FZ(z)?P(Z?z)?P(X2?Y2?z) 当z?0时，显然有FZ(z)?0；当z?0时
FZ(z)?12?x2?y2?z??e?x2?y22dxdy
1 ?2??2?0d??re0z?r22dr?1?e?z22.
所以，Z的分布函数为
z???2 FZ(z)??1?e,z?0;
?z?0.?0,2对z求导数，即得Z的概率密度
??z?2 fZ(z)??ze,z?0;
?z?0.?0,2第四节 正态随机变量的线性函数的分布
一、选择
1.设X，Y是相互独立的随机变量，且X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2)，则下列结论正确的是（B）
22(AX?Y~N(?1??2,(?1??2)2) (B)X?Y~N(?1??2,?1??2) (C)X?Y~N(?1??2,(?1??2)2) (D)X?Y~N(?1??2,?1??2)
22222.设随机变量X与Y均服从正态分布,X~N(?,42),Y~N(?,52);记p1?P?X???4?,p2?P?Y???5?,(A)对任何实数?,都有p1?p2(C)只对?的个别值,才有p1?p2二、填空
1.设随机变量X与Y独立，且X~N(0,1),Y~N(1,2)，则Z?2X?Y?3的
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2则(A)(B)对任何实数?,都有p1?p2(D)对任何实数?,都有p1?p2
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概率密度为fz(z)?14?e?(z?2)216,???z???
2.设随机变量X与Y独立，且X~N(0,1),Y~N(1,1)，则P(X?Y?1)= 0.5
13.已知随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布N(?,).如果2
1P{X?Y?1}?,则?＝___1___.22第五节 中心极限定理
一、填空
1.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{X?E(X)?2}?___12____
二、计算题
1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.(?(1.2)?0.8849) 解：设Xi表示第i页上的错误个数，(i?1,2,?，500) 则Xi~P(0.2)，因此E(Xi)?0.2,D(Xi)?0.2(i?1,2,?，500)
设X表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知
X??Xi~N(100,100)
i?1500因此P?X?88??1?P?X?88??1?P??X?100?12?????(1.2)?0.8849 10??1002.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. 求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值. ( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.
?(2.5)?0.994,?(1.5)?0.933 )
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100,解: X~B（0.2） ， 因为 n?100 较大,
所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（14?X?30）??(30?2014?20 )??（）44 ??(2.5)??（?1.5)
?0.994?(1?0.933)?0.927
3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率
( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. ?(1.25)?0.8944 )
解:设X表示发生故障的家电数,则 (1) X~B（4,0.2）
P（X?1=P（X?0）+P（X?1 ））
=0.8+C4?0.2?0.8?0.8192
413100,(2) X~B（0.2） ， 因为 n?100 较大,
所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p)
?1?P(X?25)?1??（ P（X?25）1.25) ?1??（25?20） 4 ?1?0.8944?0.1056
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第五章 数理统计的基本知识
二、选择
1. 设X1,X2,?,Xn独立且服从同一分布N(?,?)，X是样本均值，记1n2??S?X?X?in?1i?1212S4?2，
1n2S???Xi?X?ni?122，
1n?Xi???2S??n?1i?123，
1n?Xi???2，则下列服从t(n?1) 的是 ( A ). ?ni?1（A）t?X??X??X??X?? （B）t? （C）t? （D）t?
S3S1S2S4nnnn222. 设总体X~N(?,?), 则统计量??1?2?(Xi?X)2i?1n~（B）
(A) ?(n) (B) ?(n?1) (C) t(n?1) (D) t(n)
3.设总体X~N(2,4),X1,X2,?,Xn为取自总体X的一个样本,则下面结果正确的是
（ D ）
222 (A)
X?2X?2~N(0,1) (B)~N(0,1) 416X?2X?2~N(0,1) (D)~N(0,1)
42n二、填空
1. 已知某总体X的样本值为99.3，98.7，100.05，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，
(C)
100.5，则样本均值X= 99.93 ，样本方差S= 1.43 . 2. 设总体X~N(?,4),X1,X2,2022,X20为取自总体X的一个容量为20的样本,则概率
P[46.8??(Xi?X)2?154.4]= 0.895 . i?13.从总体N(63,49)中抽取容量为16的样本,则P[X?60]= 0.0436 .
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