大学概率习题大全及答案

概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名 Y X y1 y2 y3 P{X?xi}?pi? x1 x2 1 241 81 61 83 81 21 121 41 31 43 41 P{Y?yi}?p?j 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23则系数A=

1?2,B=

?2,C=

?2, (X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)?6 。

?2(x2?4)(y2?9)⒊ 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),R为一平面区域,则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=

??xy????f(x,y)dydx ,P??X,Y??R??

??f(x,y)dxdy,曲面

Rz?f(x,y)叫做 分布曲面 ,F(??,??)? 1 ,F(x,??)? 0 ,F(??,y)?

0 ,F(??,??)? 0 。

三、计算题。

1. 已知随机变量X1和X2的概率分布

X1P?101141214X2P01121 2而且P{X1X2?0}?1.求X1和X2的联合分布。 解:

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X1X2

?1011401 4010102?e?y,0?x?y⒉ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

0,其他?(1)求P{X?Y?1};(2)求联合分布函数F(x,y)。 解(1)P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xxedy?1?e-2e

?y-1?12(2)F(x,y)???xy?????e?x-e?y,0?x?y f(x,y)dydx??其他?0,⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?Ae?(x?2y),x?0,y?0; f(x,y)??其他.?0,试求(1)常数A ; (2) 概率P(0?X?1,0?Y?2). 解:(1)由于 故

??????????f(x,y)?1,

??0????0Ae?(x?2y)dxdy?A?1,所以A?2 2(2)P(0?X?1,0?Y?2)??10dx?212e?(x?2y)dy?(1?e?1)(1?e?4)

第十节 二维随机变量的边缘分布

六、选择题

⒈ 设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为P(xi,yj),则X的边缘概率函数

PX(xi)为 ( A )

(A)

?P(x,y) (B)?P(x,y) (C) ?P(x,y) (D)以上都不对

ijijijjii,j第 22 页

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⒉ (X,Y)为二维连续随机变量,对任意的实数x,函数P(X?x,Y???)为 ( B ) (A)随机变量Y的边缘分布函数 (B)随机变量X的边缘分布函数 (C)(X,Y)的联合分布函数 (D)以上都不对

二、填空

⒈ 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23则X的边缘分布函数为FX(x)?11x?arctan , Y的边缘概率密度为2?2fY(y)?3。 2??y?9?⒉ 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则随机变量X的边缘分布函数为

FX(x)?F(x,??),随机变量Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y)。

⒊ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量X的边缘概率密度为

fX(x)??????f(x,y)dy,随机变量Y的边缘概率密度为fY(y)??????f(x,y)dx。

三、计算题

?e?y,0?x?y⒈ 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??,求X的边

?0,其他缘概率密度fx(x)。 解 x?0时,fX(x)????xedy?e,x?0时,fX(x)?0?y?x?e?x,x?0故fX(x)??

x?0?0,?2e?(x?2y),x?0,y?02. 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其他.?0,求随机变量X和Y的边缘概率密度。

?e?x,x?0?2e?2y,y?0解 fX(x)??, fY(y)??。

x?0?0,?0,y?0第 23 页

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第十一节 随机变量的独立性

七、选择题

⒈ 设相互独立的随机变量X和Y的概率密度分别为fX(x)???2x,0?x?1 ,?0,其他?e?y,y?02,则?的二次方程??2X??Y?0具有实根的概率是( A ) fY(y)???0,其他?2?3?4 (A)e (B)e (C) e (D)e

?1二、填空

1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23则随机变量X与Y 独立 (填独立或不独立)。

2. 独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的 边缘分布 函数的乘积,独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的 边缘概率密度 的乘积,独立离散随机变量的联合概率函数等于它们的 边缘概率函数 的乘积。

三、计算题

1. 已知随机变量X1和X2的概率分布

X1P?101141214X2P01121 2而且P{X1X2?0}?1.问X1和X2是否独立?为什么? 解:因为P{X1?0,X2?0}?0,P[X1?0}P{X2?0}?1?0,所以X1和X2不独立。 4?2e?(x?2y),x?0,y?02. 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其他.?0,随机变量X和Y是否独立?

?e?x,x?0?2e?2y,y?0解 由于 fX(x)??, fY(y)??。

x?0?0,?0,y?0故f(x,y)?fX(x)fY(y)

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