第三章 关键点提取 19
这些信息可以是我们去掉那些地对比度的点以及边缘不稳定的点。
开始的时候我们只是用这种方法去简单的确定中心位置的关键点的位置和尺度。但是经研究发现这样是不精确的，最近Brown已经提出了一种新的想法能够用二次函数来解决3D情况，获得最大值点。他已经用实验证明这种方法的对与匹配的可匹配性以及稳定性，我们下面就介绍这种方法。主要目的就是通过两个阈值去掉不符合条件的关键点。
首先我们通过三维二次拟合以精确确定关键点的位置和尺度，然后去除对比度比较低的点和不稳定的边缘响应点
3.7.1 三维二次拟合
目的是去除对比度比较低的关键点。 Taylor二次展开式：
D?x??D??DT?xx?12xT?D?x22x （3-7）
?D以及它的倒数是可倒的，X??x,y,??是这个点的偏移量。极值点的位置，x，是由这个函数以及它的倒数得到的。当x趋近于0的时候，求导得到：
?D???D?x??D?2?x??2?1T?D?x （3-8）
正如Brown所说，当用不同的临近点进行采样时，Hessian和D的倒数产生的
?结果是相近的。3x3的线性系统可以用最小代价来解决问题。如果偏移量x大于0.5了，而且是在各个方向上都是大于0.5的，那意味着这个点可能距离其他的采样点更近。这样观点的位置就变了，而且一个点就有可能代替另一个点。
将（3-8）式带入到（3-7）式子得到：
20 SIFT特征关键点检测技术
1?D????（3-9） D?x??D?x2?x??
???对于上式将得到一个数值|D?x?|，对于比这个值小于
??T0.03的点的值将会被认
为是对比度比较低的点而被抛弃。
在第六章的试验中 我们将对这个阈值进行调节，从而更好的理解这个阈值对采样以及匹配的影响。
3.7.2 去除不稳定边缘响应点
为了得到稳定的关键点，仅仅去除低对比度的关键点是不行的， DOG算子在图像的边缘有较大边缘响应，甚至这些地方的点几乎很难容下很小的噪音，因此我们需要去掉这些点。
目的是通过r的引进确定一个阈值去掉边缘响应点。
一个定义不好的高斯差分算子的极值在横跨边缘的地方有较大的主曲率，而在垂直边缘的方向有较小的主曲率。主曲率通过一个2x2 的Hessian矩阵H求出:
?DxxH???DxyDxy?? （3-10） Dyy?导数由采样点相邻差估计得到。
D的主曲率和H的特征值成正比，令?为最大特征值，?为最小的特征值，则
Tr?H??Dxx?Dyy????Det?H
（3-11）
??DxxDyy??Dxy????2 （3-12）
令??r?，则：
Tr?H?2Det?H?2
??????2????r???2?2r???r?1?r2 （3-13）
(r + 1)/r的值在两个特征值相等的时候最小，随着r的增大而增大，因此，为了检测主曲率是否在域值r下，只需检测
Tr?H?2Det?H???r?1?r2