?x，0 11.(2017·山东)设f(x)＝? ?2?x－1?，x≥1， A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C ?1?若f(a)＝f(a＋1)，则f??等于( ) ?a? 解析 若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，得a＝2(a＋1－1)， 1 ?1?∴a＝，∴f??＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 4?a? 若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解. ?1?综上，f??＝6. a?? 故选C. ??x＋4x＋3，x≤0， 12.已知函数f(x)＝? ?3－x，x＞0，? 2 则方程f(x)＋1＝0的实根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 依题意得当x≤0时，x＋4x＋3＋1＝0， 解得x＝－2；当x＞0时，3－x＋1＝0，得x＝4. 因此原方程的实根的个数是2. 1??ax2－x－，x≤1， 413.已知函数f(x)＝? ??logax－1，x＞1( ) 2 是R上的单调函数，则实数a的取值范围是 ?11?A.?，? ?42??1?C.?0，? ?2? 答案 B ?11?B.?，? ?42??1?D.?，1? ?2? 解析 由对数函数的定义，可得a＞0，且a≠1. 12 又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax－x－的图象开口向上， 4所以函数f(x)在R上单调递减， 5 ?1?≥1，故有?2a1 a×1－1－≥log1－1，??4 2 0＜a＜1， a 11 解得≤a≤. 42 2??，x≥2，14.已知函数f(x)＝?x???x－1?3，x＜2，数k的取值范围是( ) A.(－1，1) B.(0，1) C.(0，1] D.(－1，0) 答案 B 2 解析 由题意知，函数f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且0＜f(x)≤1，f(x)＝(x－1)3在(－ 若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实 x∞，2)上是增函数，且f(x)＜1，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则0＜k＜1. ??x＋1，x≤0，15.(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝?x??2，x>0， 1? ?则满足f(x)＋f?x－?>1的x的取值范 ?2? 围是___. 1??－答案 ?，＋∞? ?4? 11 解析 由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤，x＞三段讨论. 221 当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1， 21 解得x＞－， 41 ∴－＜x≤0. 4 11x当0＜x≤时，原不等式为2＋x＋＞1，显然成立. 22 x－1x当x＞时，原不等式为2＋22＞1，显然成立. 2 1?1?综上可知，x的取值范围是?－，＋∞?. ?4? 考点四 基本初等函数的综合应用 要点重组 函数y＝a和y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对 6 x称. 方法技巧 基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题在于准确把握函数的图象和性质. 16.已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( ) A.[1，3] C.[2－2，2＋2] 答案 D 解析 函数f(x)＝e－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)＞－1，即－b＋4b－3＞－1，所以b－4b＋2＜0，解得2－2＜ 2 2 x2 B.(1，3) D.(2－2，2＋2) x2 b＜2＋2. 17.已知定义在R上的函数f(x)＝2 |x－m| －1(m为实数)为偶函数.记a＝f(log0.53)，b＝ f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 答案 C 解析 由f(x)＝2 x|x－m| －1是偶函数，得m＝0，则f(x)＝2－1.当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝ |x| 2－1单调递增， 又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，则f(0)＜f(log23)＜f(log25)， 即c＜a＜b，故选C. ?1?x?1?xx18.设a，b，c分别是方程2＝log1x，??＝log12x，??＝log2x的实数根，则( ) ?2??2? 22A.c＜b＜a C.b＜a＜c 答案 C B.a＜b＜c D.c＜a＜b ?1?b?1?ca解析 因为2＝log1a＞0，所以0＜a＜1.因为??＝log12b＝－b＞0，所以b＜0.因为???2??2? 22＝log2c＞0，所以1＜c＜2.所以b＜0＜a＜1＜c. ??x，x＜0， 19.已知f(x)＝? logx，x＞0，?? 121＋x 则f(x)≥－2的解集是( ) 1??A.?－∞，－?∪[4，＋∞) 3?? 7 1??B.?－∞，－?∪(0，4] 3?? ?1?C.?－，0?∪[4，＋∞) ?3??1?D.?－，0?∪(0，4] ?3? 答案 B 1＋x1 解析 当x＜0时，f(x)≥－2，即≥－2，可转化为1＋x≤－2x，得x≤－；当x＞0 x3时，f(x)≥－2，即log1x≥－2，可转化为log1x≥log14，解得0＜x≤4. 2221??综上可知不等式的解集为?－∞，－?∪(0，4]. 3?? ??log2x，x>0， 20.已知函数f(x)＝?x?3，x≤0，? 且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则 实数a的取值范围是________. 答案 (1，＋∞) 解析 画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象如图所示，所以a>1. ax＋b1.函数f(x)＝2的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) ?x＋c? A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0 答案 C 8