1222
则有m＋(－m＋6)＝10，
212±489
解得m＝，
5
12＋48912－489
∴点Q 的横坐标为或，设点M的横坐标为a，
5512＋48912－489＋6＋655a＋0a＋0
则有＝或＝，
222242＋48942－489∴a＝或.
55又∵点P从点(－10，0)开始运动，
92＋48992－489
∴满足条件的t的值为或.
55
如图4中，当点Q与C重合时，M点的横坐标为6，此时t＝16，
图4
92＋48992－89
综上所述，满足条件的t的值为0或16或或.
55类型四
【例4】 (1)(4，0)
(2)当点Q在原点O时，AQ＝6， 1
∴AP＝AQ＝3，∴t＝3÷3＝1.
2①当0＜t≤1时，如图1，令x＝0，
图1
∴y＝4，∴B(0，4)，∴OB＝4. ∵A(6，0)，∴OA＝6，
OBPD2
在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，
OA3t3由运动知AP＝3t，∴P(6－3t，0)， ∴Q(6－6t，0)，∴PQ＝AP＝3t. ∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥OA，PN＝PQ＝3t，
PDPD2
在Rt△APD中，tan∠OAB＝＝＝，
AP3t3∴PD＝2t，∴DN＝t. ∵MN∥OA，∴∠DCN＝∠OAB， DNt2
∴tan∠DCN＝＝＝，
CNCN33∴CN＝t，
2
133322
∴S＝S正方形PQMN－S△CDN＝(3t)－t×t＝t.
224
43
②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得DN＝t，CN＝t，
32
图2
13392
∴S＝S矩形OENP－S△CDN＝3t×(6－3t)－t×t＝－t＋18t.
224
412
③当＜t≤2时，如图3，S＝S梯形OBDP＝(2t＋4)(6－3t)＝－3t＋12.
32
图3
(3)如图4，由运动知P(6－3t，0)，Q(6－6t，0)，
图4
∴M(6－6t，3t)．
∵T是正方形PQMN的对角线交点， 93
∴T(6－t，t)，
22
1
∴点T是直线y＝－x＋2上的一段线段，(－3≤x＜6)．
3同理，点N是直线AG：y＝－x＋6上的一段线段，(0≤x≤6)， ∴G(0，6)，∴OG＝6. ∵A(6，0)，∴AB＝62.
∵T是正方形PQMN的对角线的交点， ∴TN＝TP，∴OT＋TP＝OT＋TN，
∴点O，T，N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT＋TN最小，即OT＋TN最小． 11
∵S△OAG＝OA·OG＝AG·ON，
22OA·OG
∴ON＝＝32，
AG即OT＋PT的最小值为32. 变式训练
4．解：(1)如图，连结BP.
在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝42. ∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BP＝BQ.
∵AQ＝2t，CP＝t，∴BQ＝42－2t，PB＝4＋t， ∴(42－2t)＝16＋t，解得t＝8－43或8＋43(舍去)，
2
2
2
2
2
∴t＝(8－43)s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
(2)①如图，当PQ＝QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°，
4
则有PA＝2AQ，∴4－t＝2·2t，解得t＝.
3
②如图，当AP＝PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ＝90°，
则有AQ＝2AP，∴2t＝2(4－t)，解得t＝2.
4
综上所述，t＝ s或2 s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．
3
(3)如图，连结QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE＝AE，QF＝EC，可得QE＋QF＝AE＋EC＝AC＝4，
111
∴S＝S△QNC＋S△PCQ＝CN·QF＋PC·QE＝t(QE＋QF)＝2t(0＜t＜4)． 222