60°＝
3x， 2
113
∴S△OMN＝OM·NE＝×1.5x×x，
222332
∴y＝x，
8
883∴x＝时，y有最大值，最大值为.
33
8
②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
3如图，作MH⊥OB于H，
则BM＝8－1.5x， MH＝BM·sin 60°＝
3
(8－1.5x)， 2
8332
∴y＝ON·MH＝－x＋23x.
38883当x＝时，y取最大值，y＜，
33
③当4＜x≤4.8时，M，N都在BC上运动，如图，作OG⊥BC于G.
MN＝12－2.5x，OG＝AB＝23， 153∴y＝·MN·OG＝123－x，
22
当x＝4时，y有最大值，最大值接近于23. 83
综上所述，y有最大值，最大值为. 3类型三
【例3】 (1)如图，作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形， ∴CD＝BH＝8，DH＝BC＝6. ∵AH＝AB－BH＝8， ∴AD＝DH＋AH＝10， ∴AP＝AD－DP＝10－2t.
(2)如图，作PN⊥AB于N，连结PB. 在Rt△APN中，PA＝10－2t， 3
∴PN＝PA·sin∠DAH＝(10－2t)，
54
AN＝PA·cos∠DAH＝(10－2t)，
54
∴BN＝16－AN＝16－(10－2t)，
5
13146254
S＝S△PQB＋S△BCP＝×(16－2t)×(10－2t)＋×6×[16－(10－2t)]＝t－t＋72.
252555(3)当PQ⊥BD时，∠PQN＋∠DBA＝90°. ∵∠QPN＋∠PQN＝90°， ∴∠QPN＝∠DBA， QM3
∴tan∠QPN＝＝，
PN44
（10－2t）－2t53∴＝，
34（10－2t）535
解得t＝. 27
35
经检验，t＝是分式方程的解，
2735
∴当t＝ s时，PQ⊥BD.
27(4)存在．理由如下：
连结BE交DH于K，作KM⊥BD于M. 当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM， ∴KH＝KM，BH＝BM＝8，设KH＝KM＝x， 在Rt△DKM中，(6－x)＝2＋x，
2
2
2
228
解得x＝.
3
如图，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN， 3
∴EF＝PN＝(10－2t)，
54
AF＝QN＝(10－2t)－2t，
54
∴BF＝16－[(10－2t)－2t]．
5KHBH
∵KH∥EF，∴＝，
EFBF
8
＝，
34
（10－2t）16－[（10－2t）－2t]55
8
3
∴
25
解得t＝.
18
25
经检验，t＝是分式方程的解，
18
25
∴当t＝ s时，点E在∠ABD的平分线．
18
变式训练
???k＝－，?12k＋b＝0，2 3．解：(1)设直线CD的表达式为y＝kx＋b，则有?解得?
?6k＋b＝3，??
?b＝6，
1
∴直线CD的表达式为y＝－x＋6.
2(2)①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA＝∠B.
1
图1
PAAD
∵DP∥OB，∴＝，
AOAB∴
PA39＝，∴PA＝， 684
915∴OP＝6－＝，
44
1533
∴P(，0)，根据对称性可知，当AP＝AP′时，P′(，0)，
441533
∴满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)．
44②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q.
图2
4
∵直线OB的表达式为y＝x，
3440
∴直线PQ的表达式为y＝x＋，
33440
y＝x＋，??33?x＝－4，?由?解得?
?1y＝8，?
y＝－x＋6，??2∴Q(－4，8)，∴PQ＝6＋8＝10， ∴PQ＝OB.
∵PQ∥OB，∴四边形OBQP是平行四边形． ∵OB＝OP，
∴四边形OBQP是菱形，此时点M与P重合，满足条件，t＝0. 1
如图3中，当OQ＝OB时，设Q(m，－m＋6)，
2
2
2
图3