2018新人教A版高中数学选修2-1教案
椭圆第二定义
2.1.2椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x2y2性质一：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形
abPF1F2中?F1PF2??,则S?F1PF2?b2tan?(2c)2?F1F22?2。
?PF1?PF222?2PF1PF2cos?2?(PF1?PF2)?2PF1PF2(1?cos?)
?PF1PF2?(PF1?PF2)2?4c22(1?cos?)4a2?4c22b2 ??2(1?cos?)1?cos??S?F1PF21b2??PF1PF2sin??sin??b2tan 21?cos?2x2y2性质二：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形
abPF1F2，若?F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1?a?exo，PF1?a?exo 在?F1PF2中，cos??PF1?PF1?F1F22PF1PF2222?(PF1?PF2)2?2PF1PF2?4c22PF1PF2
2b24a2?4c24b2?1 ??1??1=2222PF1PF22(a?exo)(a?exo)a?exo2??a?x0?a?xo?a2
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x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形
abPF1F2中?F1PF2??,则cos??1?2e2.
证明：设PF1?r1,PF2?r2,则在?F1PF2中，由余弦定理得：
r12?r22?F1F2(r1?r2)2?2r1r2?4c22a2?2c2cos?????1
2r1r22r1r22r1r22a2?2c22a2?2c22??1??1?1?2e. 命题得证。 2r1?r222a2()22x2y2（2000年高考题）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在
ab一点P,使得?F1PF2?1200,求椭圆的离心率e的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos120?1?2e.即?于是得到e的取值范围是?021?1?2e2 , 2?3?,1?. ??2?x2y2性质四：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形
abPF1F2，?PF1F2??,?PF2F1??,则椭圆的离心率e??PF1F2??,?PF2F1??,
由正弦定理得：
sin(???)。
sin??sin?F1F2sin(180????)?o?PF2sin?
?PF1sin?
由等比定理得：
F1F2sin(???)?PF1?PF2sin??sin?，
而
F1F2sin(???)2csin(???)PF1?PF2sin??sin??2asin??sin? ∴
e?csin(???)?。 asin??sin? 25
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已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1， 0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．
解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
x2y2?∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝3 ∴椭圆的方程为＝1． 43(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
11sin(180o??)??椭圆的离心率e?则?22sin120o?sin(60o??)sin?3?sin(60o??)2，
整理得：5sinθ＝3(1＋cosθ)
3?3sin?35?53． ?∴故tan?，tanF1PF2＝tanθ＝
31?cos?511251?252?
2.2.1椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程
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当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集P?M|MF1?MF2?2a．
（ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．
??y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程2?2?1?a?b?0?．
ab（iii）例题讲解与引申
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