2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

..

概率.

(2)根据上一问乙的化验次数的分布列,利用期望计算公式得到结果. 【解答】解:(Ⅰ)若乙验两次时,有两种可能:

①先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中概率为:

②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有,均可以在第二次结束)

∴乙只用两次的概率为

若乙验三次时,只有一种可能:

先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为在三次验出时概率为

∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为:

(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数, ∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4.

21.(12分)(2008?全国卷Ⅰ)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|

|、|

|、|

|成等差数列,且

同向.

(Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

【分析】(1)由2个向量同向,得到渐近线的夹角范围,求出离心率的范围,再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比,联想到渐近线的夹角,求出渐近线的斜率,进而求出离心率.

(2)利用第(1)的结论,设出双曲线的方程,将AB方程代入,运用根与系数

;..

..

的关系及弦长公式,求出待定系数,即可求出双曲线方程. 【解答】解:(1)设双曲线方程为∴渐近线的倾斜角为(0,∴渐近线斜率为:∵|

|、|

|、|

),

,∴

|成等差数列,∴|OB|+|OA|=2|AB|,

,由

同向,

∴|AB|2=(|OB|﹣|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|﹣|OA|)?2|AB|, ∴∴可得:

,而在直角三角形OAB中,

注意到三角形OAF也为直角三角形,即tan∠AOB=, 而由对称性可知:OA的斜率为k=tan∴

,∴2k2+3k﹣2=0,∴

∴,∴,∴.

(2)由第(1)知,a=2b,可设双曲线方程为由于AB的倾斜角为(∠AOB)=﹣2,

∴AB的直线方程为 y=﹣2(x﹣∴x1+x2=∴4=

?

,x1?x2=

=

?

﹣=1,∴c=b.

+∠AOB,故AB的斜率为tan(+∠AOB )=﹣cot

b),代入双曲线方程得:15x2﹣32

bx+84b2=0,

,即16=﹣

;..

..

112b2,

∴b2=9,所求双曲线方程为:

22.(12分)(2008?全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x﹣xlnx.数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).

(Ⅰ)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数; (Ⅱ)证明:an<an+1<1; (Ⅲ)设b∈(a1,1),整数

.证明:ak+1>b.

=1.

【分析】(1)首先求出函数的导数,然后令f′(x)=0,解出函数的极值点,最后根据导数判断函数在区间(0,1)上的单调性,从而 进行证明.

(2)由题意数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an),求出an+1=an﹣anlnan,然后利用归纳法进行证明;

(3)由题意f(x)=x﹣xlnx,an+1=f(an)可得ak+1=ak﹣b﹣ak,然后进行讨论求解.

【解答】解:(Ⅰ)证明:∵f(x)=x﹣xlnx, ∴f′(x)=﹣lnx,

当x∈(0,1)时,f′(x)=﹣lnx>0 故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数;

(Ⅱ)证明:(用数学归纳法) (i)当n=1时,0<a1<1,a1lna1<0, a2=f(a1)=a1﹣a1lna1>a1,

∵函数f(x)在区间(0,1)是增函数且函数f(x)在x=1处连续, ∴f(x)在区间(0,1]是增函数,

a2=f(a1)=a1﹣a1lna1<1,即a1<a2<1成立, (ⅱ)假设当x=k(k∈N+)时,ak<ak+1<1成立,

;..

即0<a1≤ak<ak+1<1,

那么当n=k+1时,由f(x)在区间(0,1]是增函数,0<a1≤ak<ak+1<1, 得f(ak)<f(ak+1)<f(1), 而an+1=f(an),

则ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1),ak+1<ak+2<1, 也就是说当n=k+1时,an<an+1<1也成立,

根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数n,an<an+1<1恒成立.

(Ⅲ)证明:由f(x)=x﹣xlnx,an+1=f(an)可得 ak+1=ak﹣aklnak=

1)若存在某i≤k2,满足ai≤b3,则由(Ⅱ)知:ak+1﹣b<ai﹣b≥04, 2)若对任意i≤k6,都有ai>b,则ak+1=akaklnak=

=

≥a1﹣b1﹣ka1ln=0,

即ak+1>b成立.

;..

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