2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)

..

三、解答题(共6小题,满分74分)

17.(10分)(2008?全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB﹣bcosA=c. (Ⅰ)求

的值;

(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.

【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数, (Ⅰ)由正弦定理的边角互化,我们可将已知中到sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求

的值.

,进行转化得

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,结合角A,B,C为△ABC的内角,我们易得tanA=4tanB>0,则tan(A﹣B)可化为B)的最大值.

【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得

,再结合基本不等式即可得到tan(A﹣

即sinAcosB=4cosAsinB, 则(Ⅱ)由tanA=4tanB>0

当且仅当故当

时,

时,等号成立,

tan(A﹣B)的最大值为.

;..

..

18.(12分)(2008?全国卷Ⅰ)四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,(Ⅰ)证明:AD⊥CE;

(Ⅱ)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小.

,AB=AC.

【分析】(1)取BC中点F,证明CE⊥面ADF,通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的.

(2)在面AED内过点E作AD的垂线,垂足为G,由(1)知,CE⊥AD,则∠CGE即为所求二面角的平面角,△CGE中,使用余弦定理求出此角的大小. 【解答】解:(1)取BC中点F,连接DF交CE于点O, ∵AB=AC,∴AF⊥BC.

又面ABC⊥面BCDE,∴AF⊥面BCDE,∴AF⊥CE. 再根据

,可得∠CED=∠FDC.

又∠CDE=90°,∴∠OED+∠ODE=90°,

∴∠DOE=90°,即CE⊥DF,∴CE⊥面ADF,∴CE⊥AD. (2)在面ACD内过C点作AD的垂线,垂足为G. ∵CG⊥AD,CE⊥AD,∴AD⊥面CEG,∴EG⊥AD, 则∠CGE即为所求二面角的平面角. 作CH⊥AB,H为垂足.

∵平面ABC⊥平面BCDE,矩形BCDE中,BE⊥BC,故BE⊥平面ABC,CH?平面ABC,

故BE⊥CH,而AB∩BE=B,故CH⊥平面ABE, ∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角. ∵CE=

,∴CH=EH=

=

=1,∴AH=AB﹣

直角三角形CBH中,利用勾股定理求得BH=BH=AC﹣1;

;..

..

直角三角形ACH中,由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+(AC﹣1)2,∴AB=AC=2. 由面ABC⊥面BCDE,矩形BCDE中CD⊥CB,可得CD⊥面ABC, 故△ACD为直角三角形,AD=故CG=

=

=

,DG=,又

则∴

即二面角C﹣AD﹣E的大小

, =

==

, ,

19.(12分)(2010?大纲版Ⅱ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx. (Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)若f(x)在区间(0,)上是减函数,求实数a的取值范围. 【分析】(1)求单调区间,先求导,令导函数大于等于0即可.

(2)已知f(x)在区间(0,)上是减函数,即f′(x)≤0在区间(0,)上恒成立,然后用分离参数求最值即可.

【解答】解:(Ⅰ)当a=3时,f(x)=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴

;..

..

解f′(x)>0, 即:2x2﹣3x+1<0

函数f(x)的单调递增区间是

(Ⅱ)f′(x)=﹣2x+a﹣, ∵f(x)在∴x∈

上为减函数, 时﹣2x+a﹣≤0恒成立.

即a≤2x+恒成立. 设∵x∈

,则时,

>4,

∴g′(x)<0, ∴g(x)在

上递减,

∴g(x)>g()=3, ∴a≤3.

20.(12分)(2008?全国卷Ⅰ)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:

方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.

方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.

(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.

【分析】(1)由题意得到这两种方案的化验次数,算出在各个次数下的概率,写出化验次数的分布列,求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的

;..

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