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2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数A．{x|x≥0}
B．{x|x≥1}
的定义域为（ ）
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（ ） A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 3．（5分）在△ABC中，A．
B．
=，C．
D．不能确定 =．若点D满足
D．
=2
，则=（ ）
4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ） A．2
B．1
C．0
D．﹣1
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=lnf（x）=（ ） A．e2x﹣2
B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） D．﹣2
的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ） B．向右平移D．向右平移
个长度单位 个长度单位
的图象关于直线y=x对称，则
7．（5分）设曲线A．2
B． C．
8．（5分）为得到函数A．向左平移C．向左平移
个长度单位 个长度单位
9．（5分）设奇函数（fx）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
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C．（﹣∞，﹣1）∪
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（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1） 10．（5分）若直线A．a2+b2≤1
=1与圆x2+y2=1有公共点，则（ ）
D．
B．a2+b2≥1 C．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）若x，y满足约束条件
，则z=2x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 15．（5分）在△ABC中，AB=BC，C，则该椭圆的离心率e= ．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为
，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．
．若以A，B为焦点的椭圆经过点
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三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c． （Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，
，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|
|、|
|、|
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成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）． （Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数； （Ⅱ）证明：an＜an+1＜1； （Ⅲ）设b∈（a1，1），整数
．证明：ak+1＞b．
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