生活中的圆周运动
知识点：
1．火车转弯
⑴ 火车车轮的结构特点
火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹。（如图1所示）
⑵ 如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，见图2，但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。
（图1）
（图2）
⑶ 如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供（如图3）。
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0，由图3所示力的合成得向心力为
F合=mgtanα≈mgsinα=mg
h L22vvh由牛顿第二定律得：F合=m0 所以mg=m0
RRL即火车转弯的规定速度v0=
Rgh
。 L
（图3）
⑷ 对火车转弯时速度与向心力的讨论
a．当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。
b．当火车转弯速度v>v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。
c．当火车转弯速度v 2．汽车过桥 ⑴ 汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力 汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力FN提供向心力。如图4所示。 v2G－FN=m Rmv2所以FN=G－ R汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。 1 （图4） 思考 汽车的速度不断增大时，会发生什么现象？ mv2v2由上面表达式FN=G－可以看出，v越大，FN越小。当FN=0时，由G=m可得v=gR。若速 RR度大于gR时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面。我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因。 ⑵ 汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力 如图5，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有： v2v2FN－G=m，所以FN=G+m RRv2由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN′=G+m，大于车的重力，而且还可以看 R出，v越大，车对桥的压力越大。 （图5） 思考 汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图6所示，它的运动能用上面的方法求解吗？ 分析 可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化。如图6，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力共同提供向心力。设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有 v2mgcosθ－FN=m Rv2所以FN=mgcosθ－m R桥面支持力与夹角θ、车速v都有关。 （图6） 例1 一辆汽车匀速率通过半径为R的圆弧拱形路面，关于汽车的受力情况，下列说法正确的是（ ） A．汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力 B．汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽车所受重力 C．汽车的牵引力不发生变化 D．汽车的牵引力逐渐变小 3．汽车转弯 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力m2v，是由车轮与路面间的r2（例1） 静摩擦力f提供的，即f?mv，因为静摩擦力f最大不能超过最大摩擦力，故要求车子转弯时，车速不 r能太大和转弯半径不能太小。 思考 在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低是什么原因？ 例2 在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的高一些.路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于（ ） v2A．arcsin Rg 2v2v2v21 B．arctan C．arcsin D．arccot 2RgRgRg2 4．飞机拐弯 飞机在空中拐弯时，其机翼是倾斜的，飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用，其合力提供拐弯所需要的向心力。当拐弯速度比较大时，飞机的机翼倾斜角度增大，从而使重力与升力的合力增大。当拐弯速度比较小时，飞机的机翼倾斜角度减小，从而使重力与升力的合力减小。 5．航天器中的失重现象 飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg。除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座 mv2舱对他的支持力FN ，引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即 Rmv2v2mg－FN= 也就是 FN=m（g－） RR由此可以解出，当v=gR时，座舱对航天员的支持力FN=0，航天员处于失重状态。 思考 地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R（约为6400 km）。地面上有一辆汽车，重量是G=mg，地面对它的支持力是FN 。汽车沿南北方向行驶，不断加速。如图7所示。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？ （图7） 其实，这和飞船的情况相似，当汽车速度达到v=gR时（代数计算可得v=7.9×103 m/s），地面对车的支持力是零，这时汽车已经飞起来了，此时驾驶员与座椅间无压力。驾驶员、车都处于完全失重状态.驾驶员躯体各部分之间没有压力，他会感到全身都飘起来了。 6．离心运动 ⑴ 定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。 ⑵ 本质：离心现象是物体惯性的表现。 ⑶ 如图8所示： ① 向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动，此时，F=mrω2 。 ② 如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方 （图8） 向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向），按此时的速度大小飞出，这时F=0。 ③ 如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动，其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图9所示，这时，F ⑷ 离心运动的应用和危害 ① 利用离心运动制成离心机械，例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等。 （图9） ② 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故。如图9所 3 示。因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。 例3 如图所示，一小球被一绳子牵引，在光滑水平的平板上以速度v做匀速圆周运动，半径R=30 cm，v=2.0 m/s。现将牵引的绳子迅速放长20 cm，使小球在更大半径的轨道上做匀速圆周运动，求： (1) 实现这一过渡所经历的时间； (2) 在新轨道上运动时，小球旋转的角速度。 7．竖直平面内物体做圆周运动过最高点的情况分析 ⑴ 没有支撑的小球，如图10（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。 （例3） v2① 当mg?m，即v?v0?gR时，v0为小球恰好过最高点的临界 R速度。 v2② 当mg?m，即v?v0?gR时，（绳、轨道对小球产生拉力和压 R（图10） 力），小球能过最高点。 v2③ 当mg?m，即v?v0?gR时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经 R脱离了圆周轨道 例4 用长L=0.6 m的绳系着装有m=0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。求： （1）最高点水不流出的最小速度为多少？ （2）若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？ ⑵ 如图11所示为在轻杆约束下竖直平面内做圆周运动的小球过最高点的情况。 ① 当v=0时，杆对球的支持力FN = mg，此为过最高点临界条件。 ② 当v?v2gR时，m?mg，FN = 0 R③ 当0?v?④ 当v?gR时，N为支持力，v增大，则FN减小。 （图11） gR时，N为指向圆心的拉力，v增大，则FN增大。 例5 如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=mg/2，求这时小球的瞬时速度大小？ 4 （例5）