直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-,
直线MF1的方程为y=-(x+2),
即yy0=-(x0+2)(x+2),
②
①②联立,解得x=-8,
故点M的轨迹方程为x=-8.
(3)证明 依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),
点N在切线MP上,由①式得yN=, 点M在直线MF1上,由②式得yM=,
|NF222
1|=,|MF1|=[(-2)-(-8)]+,
故
=, ③
注意到点P在椭圆C上,即
=1,
于是,代入③式并整理得
,故
的值为定值
20.(1)解 ∵f(x)=ln(1+x)+x2
-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x) ②当0 当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间 内单调递减, 此时,f(x) ③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意. ④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 2019年 则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞). (2)证明 由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立, 即ln(1+x) ∴ln +ln +…+ln +…+ln … 由于n∈N*,则 =1. ∴ln <1. 由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立, 即x-x2 +…+ +ln 即 , 得 由于n∈N* ,则 ,即 +…+ln 2019年 ,