1∠PO1S=∠A； 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长
度公式，便于解题.
例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，
其中一个面积等于另外两个面积的和.
A (第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别 A'F'EFG作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′. E'D' 易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， BCC'D ∴EE′=DD′+FF′. P 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相
似.其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE
到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.
(1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△′. 若△ABC为正三角形，易证△∽△′.
112a2?2b2?c2， BE=2c2?2a2?b2， 不妨设a≥b≥c，有 CF=2212b2?2c2?a2. AD=2 =
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=
333a，BE=b，AD=c. 222 ∴CF:BE:AD =
333a:b:c =a:b:c. 故有△∽△′. 222 (2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列.
当△中a≥b≥c时， △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′， ∴
S?'CF2
＝().
aS?S33”，有?'=. 4S?4 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.
4a三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为
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△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知 A1A2
A2H1=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4；
sin?A2A3H1H1O.H2A3 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. A4 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 AH， ∥=12
故得H1H2 ∥ AA.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.
=21
同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形
H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.
例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直
线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
B2C1A 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.
H2ME分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 A1A2F接圆半径为R，⊙H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. H AA=AM+A1M=AM+r-MH=r+(AM-MH)， ①
11AH1)2-(AH-AH1)2 222
=AH·AH1-AH=AH2·AB-AH2
2
=cosA·bc-AH， ②
AH 而=2R?AH2=4R2cos2A,
sin?ABHa=2R?a2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③
2122222 222
BDC2H1C 又AM2-HM2=(
B11b2?c2?a2由①、②、③有 AA=r+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.
22bc212
同理，BB12=
12221(a+b+c)-4R2+r2，CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1. 22四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). D例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，
O4O3C△CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.
O2O
B A
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例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC
之内心.
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.
当AB≠AC，怎样证明呢？
r 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.
sin? ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK=
MQ?QN(2R?r)?r==sin??(2R?r). r/sin?AQMREOBNKrααPQFCA 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.
∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，
c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
rcK111122AO3∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)-c] =ab；
2242O211rbO(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
rE22BraC1212
=[c-(a-b)]=ab. O142∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.
1而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.
2由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半
径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径. 证明：
r1rr·2=. q1q2qC'OA'..ED.B'A'
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·sin
2A'B'B'sin?sinsinA'22， 2 =A′B′··sin =A′B′·
A'?B'2sin?A'O'B'sin2Wisdom&Love 第 19 页（共21页）
O'
A'B'cos22. O′E= A′B′·
A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴O'E22cos亦即有
r1rA?CMA?CNBBABrtgtg =tgtg=. ·2=tgtg222222qq1q2六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF
三条对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE
的内心.从而有ID=CD=DE，
IF=EF=FA， IB=AB=BC.
..Erdos不等式有： 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 A BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
F 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.
BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) S ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.
C I就是一点两心. D例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)
A分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
CD交AM于G，G必为△ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证： EFDG1DG:GK=DC:()DC=2:1. OK3BC ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.
∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD. 例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.
求证：OI丄DE，OI=DE.
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. DAC30° 易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.
OKI1FE 利用内心张角公式，有 AIB=90°+∠C=105°，
2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
111 ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)
2221 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.
2ADFCPOEGBWisdom&Love 第 20 页（共21页）
∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心
到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
A求证：1·d垂+2·d外=3·d重.
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B， H3G3O2C. 易知d外=OO1+OO2+OO3 O3G2=cosA+cosB+cosC， H2OGI ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①
BCO1G1H1 ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.
∴3d重=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
BH ∴=2，
sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.
练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C ′.则AA′+BB′+CC′
＞△ABC周长.
2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.
5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)
16.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，
2N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.
9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.
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