高中数学竞赛教程 - - 平面几何

1∠PO1S=∠A; 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心

三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长

度公式,便于解题.

例3.AD,BE,CF是△ABC的三条中线,P是任意一点.证明:在△PAD,△PBE,△PCF中,

其中一个面积等于另外两个面积的和.

A (第26届莫斯科数学奥林匹克)

分析:设G为△ABC重心,直线PG与AB,BC相交.从A,C,D,E,F分别 A'F'EFG作该直线的垂线,垂足为A′,C′,D′,E′,F′. E'D' 易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′, BCC'D ∴EE′=DD′+FF′. P 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相

似.其逆亦真.

分析:将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△′.G为重心,连DE

到H,使EH=DE,连HC,HF,则△′就是△HCF.

(1)a2,b2,c2成等差数列?△∽△′. 若△ABC为正三角形,易证△∽△′.

112a2?2b2?c2, BE=2c2?2a2?b2, 不妨设a≥b≥c,有 CF=2212b2?2c2?a2. AD=2 =

将a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得 CF=

333a,BE=b,AD=c. 222 ∴CF:BE:AD =

333a:b:c =a:b:c. 故有△∽△′. 222 (2)△∽△′?a2,b2,c2成等差数列.

当△中a≥b≥c时, △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′, ∴

S?'CF2

=().

aS?S33”,有?'=. 4S?4 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.

4a三、垂心

三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.

例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为

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△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证:H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.

分析:连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为R.由△A2A3A4知 A1A2

A2H1=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4;

sin?A2A3H1H1O.H2A3 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. A4 但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2. 易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1 AH, ∥=12

故得H1H2 ∥ AA.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

=21

同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形

H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.

例6.H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直

线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2.

B2C1A 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.

H2ME分析:只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b,AB=c,△ABC外 A1A2F接圆半径为R,⊙H的半径为r. 连HA1,AH交EF于M. H AA=AM+A1M=AM+r-MH=r+(AM-MH), ①

11AH1)2-(AH-AH1)2 222

=AH·AH1-AH=AH2·AB-AH2

2

=cosA·bc-AH, ②

AH 而=2R?AH2=4R2cos2A,

sin?ABHa=2R?a2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. ③

2122222 222

BDC2H1C 又AM2-HM2=(

B11b2?c2?a2由①、②、③有 AA=r+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.

22bc212

同理,BB12=

12221(a+b+c)-4R2+r2,CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1. 22四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:

设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A ′I=A′B=A′C.换言之,点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). D例7.ABCD为圆内接凸四边形,取△DAB,△ABC,△BCD,

O4O3C△CDA的内心O1, O2,O3, O4.求证:O1O2O3O4为矩形.

O2O

B A

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例8.已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于E,F且与⊙O内切.试证:EF中点P是△ABC

之内心.

分析:在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB=AC.

当AB≠AC,怎样证明呢?

r 如图,显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.

sin? ∵QK·AQ=MQ·QN, ∴QK=

MQ?QN(2R?r)?r==sin??(2R?r). r/sin?AQMREOBNKrααPQFCA 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.

∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,

c相切的旁切圆半径,p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析:设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:

p(p-c)=(p-a)(p-b).

rcK111122AO3∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)-c] =ab;

2242O211rbO(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)

rE22BraC1212

=[c-(a-b)]=ab. O142∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形,可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.

1而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.

2由①及图形易证.

例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△ABC内切圆的半

径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径. 证明:

r1rr·2=. q1q2qC'OA'..ED.B'A'

分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知OD=OA′·sin

2A'B'B'sin?sinsinA'22, 2 =A′B′··sin =A′B′·

A'?B'2sin?A'O'B'sin2Wisdom&Love 第 19 页(共21页)

O'

A'B'cos22. O′E= A′B′·

A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴O'E22cos亦即有

r1rA?CMA?CNBBABrtgtg =tgtg=. ·2=tgtg222222qq1q2六、众心共圆

这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.

例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,BE,CF

三条对角线交于一点;

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题)

分析:连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是△ACE的三条内角平分线,I为△ACE

的内心.从而有ID=CD=DE,

IF=EF=FA, IB=AB=BC.

..Erdos不等式有: 再由△BDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用 A BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).

F 不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.

BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) S ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.

C I就是一点两心. D例12.△ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是△ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)

A分析:设AM为高亦为中线,取AC中点F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设

CD交AM于G,G必为△ABC重心.连GE,MF,MF交DC于K.易证: EFDG1DG:GK=DC:()DC=2:1. OK3BC ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.

∵OD丄AB,MF∥AB,

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD. 例13.△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.

求证:OI丄DE,OI=DE.

分析:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K. DAC30° 易证△AID≌△AIB≌△EIB,∠AID=∠AIB=∠EIB.

OKI1FE 利用内心张角公式,有 AIB=90°+∠C=105°,

2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

111 ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)

2221 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.

2ADFCPOEGBWisdom&Love 第 20 页(共21页)

∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK,

∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.

例14.锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外,重心

到三边距离和为d重,垂心到三边距离和为d垂.

A求证:1·d垂+2·d外=3·d重.

分析:这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B, H3G3O2C. 易知d外=OO1+OO2+OO3 O3G2=cosA+cosB+cosC, H2OGI ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

BCO1G1H1 ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2,

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2,HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③,

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心,射线AI,BI,CI交△ABC外接圆于A′,B′,C ′.则AA′+BB′+CC′

>△ABC周长.

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克)

3.I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA,△IAB的外心O1,O2,O3.求证:△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克)

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC的外心O,O1,O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C<90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时,求H的轨迹.(IMO-7)

16.△ABC的边BC=(AB+AC),取AB,AC中点M,N,G为重心,I为内心.试证:过A,M,

2N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)

7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3,求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)

8.已知△ABC的三个旁心为I1,I2,I3.求证:△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB,AC切⊙O于B,C,过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证:(1)△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

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