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〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的 定义 性 质 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< 1．．．x时，都有f(x)
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③对于复合函数y?f[g(x)]，令u?g(x)，若y?f(u)为增，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为减，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为增，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为减；若y?f(u)为减，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为减． （2）打“√”函数f(x)?x?y a(a?0)的图象与性质 xo
x
f(x)分别在(??,?a]、[a,??)上为增函数，分别在[?a,0)、
(0,a]上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有
f(x)?M；
（2）存在x0?I，使得f(x0)?M．那么，我们称M是函数f(x) 的最大值，记作
fmax(x)?M．
②一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x?I，都有（2）存在x0?I，使得f(x0)?m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f(x)?m；
fmax(x)?m．
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【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的 定义 性 质 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－．．．x)=－f(x),那么函数f(x)．．．．．．．．叫做奇函数． ．．．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－．．．x)=f(x),那么函数f(x)叫．．．．．．．做偶函数． ．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②若函数f(x)为奇函数，且在x?0处有定义，则f(0)?0．
③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
图象 判定方法 11 / 26
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【1.3.3】函数周期性和对称性
一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x?T)?f(x)恒成立
则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论
1、f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；
2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 3、 若函数f?x?a??f?x?a?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数
1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 f?x?15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ?(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
f?x?4、 y=f(x)满足f(x+a)=6、f(x?a)?1?f(x)，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数.
1?f(x)7、f(x?a)??1?f(x)，则f?x?是以T?4a为周期的周期函数.
1?f(x)8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。 9、函数y?f(x)?x?R?的图象关于两点A?a,y0?、B?b,y0??a?b?都对称，则函数f(x)是以
2?b?a?为周期的周期函数；
10、函数y?f(x)?x?R?的图象关于A?a,y0?和直线x?b?a?b?都对称，则函数f(x) 是以
4?b?a?为周期的周期函数；
11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0), 则f(函数的轴对称：
定理1：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?b?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?称.
推论1：如果函数y?f?x?满足f?a?x??f?a?x?，则函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称.
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T)=0. 2a?b对2