＝＋x≥2.可得x＝a时，f′(x)有最小值2.∴a≥1.
5．已知x＝2是函数f(x)＝x－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( ) A．15 B．16 C．17 D．18
解析：选D.x＝2是函数f(x)＝x－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x－12x＋2，令f′(x)＝3x－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18，故选D. 6．若幂函数f(x)的图象过点?
3
2
3
2
3
ax?21?x，?，则函数g(x)＝ef(x)的单调递减区间为( ) ?22?
A．(－∞，0) B．(－∞，－2) C．(－2，－1) D．(－2,0)
解析：选D.设幂函数f(x)＝x，因为图象过点?
2
α
1?2?α?21?
，?，所以＝??，α＝2，所以f(x)
2?2??22?
x2
＝x，故g(x)＝ex，令g′(x)＝ex＋2ex＝e(x＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选D.
7．若函数f(x)＝2x－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[1,2)
2
x2x2x?3??3?C.?1，? D.?，2?
?2??2?
1?2x－1??2x＋1?解析：选C.f′(x)＝4x－＝，
xx1∵x＞0，由f′(x)＝0得x＝. 2
11
∴令f′(x)＞0，得x＞；令f′(x)＜0，得0＜x＜. 22
k－1≥0，??
由题意得?1
k－1＜＜k＋1?2?
3
?1≤k＜.故C正确．
2
8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
33
1??①函数y＝f(x)在区间?－3，－?内单调递增； 2??
?1?②函数y＝f(x)在区间?－，3?内单调递减；
?2?
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； 1
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
2则上述判断中正确的是( ) A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③
?1?f′(x)
解析：选D.当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，①错；当x∈?－，2?时，
?2?
＞0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数
12
y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.
9．函数f(x)＝3x－x在区间(a－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,3) B．(－1,2) C．(－1,3] D．(－1,2]
解析：选D.由题知f′(x)＝3－3x，令f′(x)＞0，解得－1＜x＜1；令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞1，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在x＝－1处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a－12，a)上的最小值，
∴a－12＜－1＜a，解得－1＜a＜11，又当x＝2时，f(2)＝－2，故有a≤2.综上知a∈(－1,2]，故选D.
1x1
10．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解222集为( )
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＜－1} C．{x|x＜－1，或x＞1} D．{x|x＞1}
2
2
2
3
2
?x1??11?解析：选D.设F(x)＝f(x)－?＋?，则F(1)＝f(1)－?＋?＝1－1＝0，F′(x)＝f′(x)
?22??22?
11
－，对任意x∈R，有F′(x)＝f′(x)－＜0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)＜022
x1
的解集为(1，＋∞)，即f(x)＜＋的解集为(1，＋∞)，故选D.
22
34
11．已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则( ) A．f(2)＜ef(0) B．f(2)≤ef(0) C．f(2)＝ef(0) D．f(2)＞ef(0) 解析：选D.由题意构造函数g(x)＝
2
2
2
2
f?x?
e
x，则g′(x)＝
2
f′?x?－f?x?
e
x＞0，则g(x)＝
f?x?
e
x在R上单调递增，则有g(2)＞g(0)，故f(2)＞ef(0)．
12．直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋ln x交于点A，B，则|AB|的最小值为( ) A．3 B．2 323C. D. 42
解析：选D. 解方程2(x＋1)＝a，得x＝－1.
2设方程x＋ln x＝a的根为t(t＞0)，则t＋ln t＝a， 则|AB|＝?t－＋1?＝?t－
?2??
a?
a??
t＋ln t2
＋1??
?
?tln t＋1?.
＝?－?2?2?
tln t设g(t)＝－＋1(t＞0)，
22
11t－1
则g′(t)＝－＝(t＞0)，
22t2t令g′(t)＝0，得t＝1.当t∈(0,1)时，g′(t)＜0； 3
当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＞0，所以g(t)min＝g(1)＝，
233
所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.
22二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝x＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________．
222
解析：函数f(x)＝x＋3x－2ln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x＋3－，令2x＋3－＜2
xx1???1?2
0，即2x＋3x－2＜0，解得x∈?－2，?.又x∈(0，＋∞)，所以x∈?0，?.所以函数f(x)
2???2?
?1?的单调递减区间为?0，?.
?2?
1312?2?14．若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围是32?3?________．
35
解析：对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a
2
?1?21
＝－?x－?＋＋2a.
?2?4
?2??2?2
当x∈?，＋∞?时，f′(x)的最大值为f′??＝＋2a.
?3??3?9
21令＋2a＞0，解得a＞－. 99
?1?所以a的取值范围是?－，＋∞?.
?9?
15．若方程kx－ln x＝0有两个实数根，则k的取值范围是________． 解析：令y＝kx，y＝ln x.
若方程kx－ln x＝0有两个实数根，
则直线y＝kx与曲线y＝ln x有两个不同交点．
故直线y＝kx应介于x轴和曲线y＝ln x过原点的切线之间． 设曲线y＝ln x过原点的切线的切点为(x0，ln x0)，
11
又y′|x＝x0＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将原点代入得，x0＝e，此时y′|xx0x0
11?1?＝x0＝＝，故所求k的取值范围是?0，?. x0e?e?1??0，答案：?? ?e?
16．设定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－
f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)
＝x－3x在区间[－2,2]上的“中值点”为________．
解析：由f(x)＝x－3x求导可得f′(x)＝3x－3，设x0为函数f(x)在区间[－2,2]上的“中值点”，则f′(x0)＝23答案：±
3
专题二 综合提升训练(二) (用时40分钟，满分80分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1
1．函数y＝的定义域是( )
log2?x－2?A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
36
3
2
3
f?2?－f?－2?
2－?－2?
＝1，即3x0－3＝1，解得x0＝±
2
23
. 3