必考点三 导数及其应用
[高考预测]——运筹帷幄
1.利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数. 2.利用导数求函数的极值、最值,由函数极值求参数. 3.利用导数研究函数切线问题. [速解必备]——决胜千里
1.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.
2.若f(x)=ax+bx+cx+d有两个极值点,且x1
3
2
当a<0时,f(x)图象如图,x1为极小值点,x2为极大值点.
3.若函数y=f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数, 若函数y=f(x)为奇函数,则f′(x)为偶函数, 4.y=e在(0,1)处的切线方程为y=x+1. [速解方略]——不拘一格
类型一 导数的几何意义及应用
[例1] (1)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________.
解析:基本法:由题意可得f′(x)=3ax+1, ∴f′(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,∴f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7), ∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
5-a2
速解法:∵f(1)=2+a,由(1,f(1))和(2,7)连线斜率k==5-a,f′(x)=3ax+1,
1∴5-a=3a+1,∴a=1. 答案:1
25
3
2
3
x方略点评:基本法是先由切点求切线方程再代入?2,7?,求a.速解法是利用斜率的求法建立a的方程.
(2)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则a=________.
1
解析:基本法:令f(x)=x+ln x,求导得f′(x)=1+,f′(1)=2,又f(1)=1,所以
2
x曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y′|x=x0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,
122
∴a=0或x0=-,又ax0+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax0+ax0+2=0,当a=0时,显然不
2满足此方程, 1
∴x0=-,此时a=8.
2
速解法:求出y=x+ln x在(1,1)处的切线为y=2x-1
??y=2x-1由?2
??y=ax+?a+2?x+1
2
得ax+ax+2=0,
2
∴Δ=a-8a=0,
∴a=8或a=0(显然不成立). 答案:8
方略点评:?1?基本法是用导数的方法,速解法利用了判别式法,也较简单.
?2?曲线y=f?x?在点P?x0,y0?处的切线,P?x0,y0?为切点,其切线斜率为f′?x0?,其切线方程为y-y0=f′?x0??x-x0?.如果f′?x0?不存在,则切线为x=x0.
1.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3
解析:基本法:y′=a-∴a=3,故选D. 答案:D
2.(20162高考全国丙卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e在点(1,2)处的切线方程是________.
解析:首先求出x>0时函数的解析式,再由导数的几何意义求出切线的斜率,最后由点斜式得切线方程.
26
-x-1
2
1
,当x=0时,y′=a-1=2, x+1
-x,则曲线y=f(x)
设x>0,则-x<0,f(-x)=e
x-1
+x.
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(x)=e
x-1
+x.
xe
∴当x>0时,f(x)=+x,
ee2ex-1
∴f′(x)=2+1=e+1,
e
∴f′(1)=2,所以所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 答案:y=2x
类型二 导数与函数的极值、最值
[例2] (1)已知函数f(x)=ax-3x+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 解析:基本法:a=0时,不符合题意.
3
2
xa≠0时,f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,
2
得x1=0,x2=. a若a>0,则由图象知f(x)有负数零点,不符合题意.
2?84?则a<0,由图象结合f(0)=1>0知,此时必有f??>0,即a33-332+1>0,化简得
aa?a?
a2>4,又a<0,所以a<-2,故选C.
速解法:若a>0,又∵f(0)=1,f(-1)=-a-2<0, 在(-1,0)处有零点,不符合题意.
4432
∴a<0,若a=-,则f(x)=-x-3x+1
33
f′(x)=-4x2-6x=0,∴x=0,或x=-.
3
2
?3??3?此时f?-?为极小值且f?-?<0,有三个零点,排除D. ?2??2?
答案:C
?2?方略点评:基本法是直接求解a,并使极小值f??>0.速解法是用特值检验排除.
?a?
(2)已知函数f(x)=x+ax+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.?x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
27
3
2
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0
解析:基本法:由三次函数的值域为R知,f(x)=0必有解,A项正确;因为f(x)=x+ax3
3
2
+bx+c的图象可由y=x平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f′(x)必有2个零点,设为x1,x2(x1<x2),则有f′(x)=3x+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),所以f(x)在(-∞,x1)上递增,在(x1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,则x2为极小值点,所以C项错误,D项正确.选C.
2
速解法:联想f(x)的图象模型如图显然C错. 答案:C
方略点评:1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具.
2.可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)=x,当x=0时就不是极值点,但f′(0)=0.
3.极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值;在x0处有f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.
4.f′(x)在f′(x)=0的根的左右两侧的值的符号,如果“左正右负”,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果“左负右正”,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值.
1.函数f(x)=ax+bx+cx-34(a,b,c∈R)的导函数为f′(x),若不等式f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)的极小值等于-115,则a的值是( ) 811A.- B. 223C.2 D.5
解析:基本法:由已知可知f′(x)=3ax+2bx+c,由3ax+2bx+c≤0的解集为{x|-2b2
2≤x≤3}可知a>0,且-2,3是方程3ax+2bx+c=0的两根,由根与系数的关系知-=
3a2
2
3
2
3
c-3a3a23
(-2)+3,=-233,∴b=,c=-18a,此时f(x)=ax-x-18ax-34,当x∈(-
3a22
∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当x∈(-2,3)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,
27a∴f(3)为f(x)的极小值,∵f(3)=27a--54a-34=-115,∴a=2,故选C.
2答案:C
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