2017届高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数必考点文

C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)

??x-2>0,

解析:选C.由函数解析式得?

??log2?x-2?≠0,

即?

?x>2,?

??x-2≠1,

即?

?x>2,???x≠3.

∴该函数定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选C.

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3+m(m为常数),则f(-log35)的值为( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6

解析:选A.由题知f(0)=1+m=0,m=-1.当x<0时,f(-x)=3+m,f(x)=-3+1.所以f(-log35)=-3log35+1=-4.

3.已知二次函数f(x)=ax+bx,则“f(2)≥0”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选C.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则a>0,x=-≤1,所以b≥-2a,这与

2a2

-x-xxbf(2)≥0等价.而f(2)≥0不能确定函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,选C.

4.设f(x)=e+x-4,则函数f(x)的零点位于区间( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

解析:选C.∵f(x)=e+x-4,∴f′(x)=e+1>0,∴函数f(x)在R上单调递增.对于A项,f(-1)=e+(-1)-4=-5+e<0,f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A不正确,同理可验证B、D不正确.对于C项,

∵f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e+2-4=e-2>0,f(1)f(2)<0. 5.直线y=kx+1与曲线y=x+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2

解析:选C.∵直线y=kx+1与曲线y=x+ax+b相切于点A(1,3),y=x+ax+b的导数y′=3x+a.

2

3

3

3

2

2

-1

-1

xxx 37

3=k31+1??3

∴?3=1+a31+b??k=3312+a

x,解得a=-1,b=3,∴2a+b=1.

2x6.函数f(x)=2--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

解析:选C.由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.

132

7.若a>1,则函数f(x)=x-ax+1在(0,2)内零点的个数为( )

3A.3 B.2 C.1 D.0

解析:选C.f′(x)=x-2ax,由a>1可知,f′(x)在x∈(0,2)时恒为负,即f(x)在(0,2)8

内单调递减,又f(0)=1>0,f(2)=-4a+1<0所以f(x)在(0,2)内只有一个零点.

312

8.函数y=x-ln x的单调递减区间为( )

2A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)

1

解析:选B.由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由y′=x-≤0,解得0<x≤1,所

2

x以函数的单调递减区间为(0,1].

1?1?b1?1?ca9.设a,b,c均为正数,且2=loga,??=logb,??=log2c,则( )

2?2?2?2?A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c

1?1?xx解析:选A.如图,在同一坐标系中,作出函数y=??,y=2,y=log2x和y=logx的图

2?2?象.由图象可知a<b<c.

10.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x,下面的不等式在R上

2

38

恒成立的是( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x

121

解析:选A.可令f(x)=x+,则f(x)满足条件,验证各个选项,知B、C、D都不恒成立,

22故选A.

11.函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2-x)=f(x),且当x≠1时,其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x),若1<a<2,则有( ) A.f(2)<f(2)<f(log2a) B.f(2)<f(log2a)<f(2) C.f(log2a)<f(2)<f(2) D.f(log2a)<f(2)<f(2)

解析:选C.∵函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2-x)=f(x),∴函数图象的对称轴为直线x=1.又∵其导数f′(x)满足xf′(x)>f′(x),即(x-1)f′(x)>0,故当x∈(1,+∞)时,函数单调递增,x∈(-∞,1)时,函数单调递减.∵1<a<2,∴0<log2a<1,2>2,∴f(log2a)<f(2)<f(2).故选C.

12.不等式e-x>ax的解集为P,且[0,2]?P,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,e-1) B.(e-1,+∞) C.(-∞,e+1) D.(e+1,+∞)

解析:选A.由题意知不等式e-x>ax在区间[0,2]上恒成立,当x=0时,不等式显然成立,eee?x-1?

当x≠0时,只需a<-1恒成立,令f(x)=-1,f′(x)=,显然函数在区间2

xxxxxaaaaaaxxx(0,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得最小值e-1,则a<e-1,故选A.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知e为自然对数的底数,则曲线y=xe在点(1,e)处的切线斜率为________. 解析:y′=(x+1)e,所以曲线y=xe在点(1,e)处的切线斜率为k=y′|x=1=2e. 答案:2e

14.函数f(x)=x-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是________.

解析:令f′(x)=3x-3a=0,得x=±a,则f(x)2f′(x)随x的变化情况如下表:

(-∞, 23

xxxx f′(x) (-a, -a -a) + a a) - 0 (a,+∞) + 0 39

f(x)  极大值 ,解得?

极小值  ??-a?3-3a?-a?+b=6从而?

??a?3-3aa+b=2

?a=1,???b=4.

所以f(x)的单调递减区间是(-1,1). 答案:(-1,1)

1-x15.已知函数f(x)=+ln x,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值

ax范围为________.

1-xax-1解析:∵f(x)=+ln x,∴f′(x)=2(a>0).

axax∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数, ∴f′(x)=1

ax-1

≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,∴ax-1≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,即ax2

a≥在x∈[1,+∞)上恒成立, x∴a≥1. 答案:[1,+∞)

16.已知函数f(x)=x+bx+cx+d(b,c,d为常数),当k∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,

3

2

f(x)-k=0只有一个实根;当k∈(0,4)时,f(x)-k=0有3个相异实根.

现给出下列四个命题:

①f(x)-4=0和f′(x)=0有一个相同的实根; ②f(x)=0和f′(x)=0有一个相同的实根;

③f(x)-3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根; ④f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根. 其中正确命题的序号是________.

解析:由题意知f(x)的大致图象如图所示:

令x1,x2(x1<x2)为函数f(x)的极值点,由已知可得函数f(x)的极大值为f(x1)=4,极小值为f(x2)=0,又f′(x1)=0,f′(x2)=0,故①对;f(x)=0和f′(x)=0有一个相同的实根x2,②对;结合函数的图象可知f(x)+5=0的解均小于f(x)-2=0的任一实根,④对;

f(x)-3=0和f(x)-1=0均有3个实根,无法比较大小,故正确的命题有①②④.

答案:①②④

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