C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
??x－2＞0，
解析：选C.由函数解析式得?
??log2?x－2?≠0，
即?
?x＞2，?
??x－2≠1，
即?
?x＞2，???x≠3.
∴该函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C.
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( ) A．－4 B．4 C．－6 D．6
解析：选A.由题知f(0)＝1＋m＝0，m＝－1.当x＜0时，f(－x)＝3＋m，f(x)＝－3＋1.所以f(－log35)＝－3log35＋1＝－4.
3．已知二次函数f(x)＝ax＋bx，则“f(2)≥0”是“函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则a＞0，x＝－≤1，所以b≥－2a，这与
2a2
－x－xxbf(2)≥0等价．而f(2)≥0不能确定函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，选C.
4．设f(x)＝e＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( ) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
解析：选C.∵f(x)＝e＋x－4，∴f′(x)＝e＋1＞0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e＋(－1)－4＝－5＋e＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，
∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e＋2－4＝e－2＞0，f(1)f(2)＜0. 5．直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．－2
解析：选C.∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1,3)，y＝x＋ax＋b的导数y′＝3x＋a.
2
3
3
3
2
2
－1
－1
xxx 37
3＝k31＋1??3
∴?3＝1＋a31＋b??k＝3312＋a
x，解得a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
2x6．函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C.由条件可知f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
132
7．若a＞1，则函数f(x)＝x－ax＋1在(0,2)内零点的个数为( )
3A．3 B．2 C．1 D．0
解析：选C.f′(x)＝x－2ax，由a＞1可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)8
内单调递减，又f(0)＝1＞0，f(2)＝－4a＋1＜0所以f(x)在(0,2)内只有一个零点．
312
8．函数y＝x－ln x的单调递减区间为( )
2A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
1
解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0＜x≤1，所
2
x以函数的单调递减区间为(0,1]．
1?1?b1?1?ca9．设a，b，c均为正数，且2＝loga，??＝logb，??＝log2c，则( )
2?2?2?2?A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
1?1?xx解析：选A.如图，在同一坐标系中，作出函数y＝??，y＝2，y＝log2x和y＝logx的图
2?2?象．由图象可知a＜b＜c.
10．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x，下面的不等式在R上
2
38
恒成立的是( ) A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＞x D．f(x)＜x
121
解析：选A.可令f(x)＝x＋，则f(x)满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，
22故选A.
11．函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2－x)＝f(x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)＞f′(x)，若1＜a＜2，则有( ) A．f(2)＜f(2)＜f(log2a) B．f(2)＜f(log2a)＜f(2) C．f(log2a)＜f(2)＜f(2) D．f(log2a)＜f(2)＜f(2)
解析：选C.∵函数f(x)对定义域R上的任意x都有f(2－x)＝f(x)，∴函数图象的对称轴为直线x＝1.又∵其导数f′(x)满足xf′(x)＞f′(x)，即(x－1)f′(x)＞0，故当x∈(1，＋∞)时，函数单调递增，x∈(－∞，1)时，函数单调递减．∵1＜a＜2，∴0＜log2a＜1,2＞2，∴f(log2a)＜f(2)＜f(2)．故选C.
12．不等式e－x＞ax的解集为P，且[0,2]?P，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，e－1) B．(e－1，＋∞) C．(－∞，e＋1) D．(e＋1，＋∞)
解析：选A.由题意知不等式e－x＞ax在区间[0,2]上恒成立，当x＝0时，不等式显然成立，eee?x－1?
当x≠0时，只需a＜－1恒成立，令f(x)＝－1，f′(x)＝，显然函数在区间2
xxxxxaaaaaaxxx(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值e－1，则a＜e－1，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xe在点(1，e)处的切线斜率为________． 解析：y′＝(x＋1)e，所以曲线y＝xe在点(1，e)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝2e. 答案：2e
14．函数f(x)＝x－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：令f′(x)＝3x－3a＝0，得x＝±a，则f(x)2f′(x)随x的变化情况如下表：
(－∞， 23
xxxx f′(x) (－a， －a －a) ＋ a a) － 0 (a，＋∞) ＋ 0 39
f(x) 极大值 ，解得?
极小值 ??－a?3－3a?－a?＋b＝6从而?
??a?3－3aa＋b＝2
?a＝1，???b＝4.
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)． 答案：(－1,1)
1－x15．已知函数f(x)＝＋ln x，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值
ax范围为________．
1－xax－1解析：∵f(x)＝＋ln x，∴f′(x)＝2(a＞0)．
axax∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝1
ax－1
≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，∴ax－1≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即ax2
a≥在x∈[1，＋∞)上恒成立， x∴a≥1. 答案：[1，＋∞)
16．已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d(b，c，d为常数)，当k∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，
3
2
f(x)－k＝0只有一个实根；当k∈(0,4)时，f(x)－k＝0有3个相异实根．
现给出下列四个命题：
①f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根； ②f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；
③f(x)－3＝0的任一实根大于f(x)－1＝0的任一实根； ④f(x)＋5＝0的任一实根小于f(x)－2＝0的任一实根． 其中正确命题的序号是________．
解析：由题意知f(x)的大致图象如图所示：
令x1，x2(x1＜x2)为函数f(x)的极值点，由已知可得函数f(x)的极大值为f(x1)＝4，极小值为f(x2)＝0，又f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，故①对；f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根x2，②对；结合函数的图象可知f(x)＋5＝0的解均小于f(x)－2＝0的任一实根，④对；
f(x)－3＝0和f(x)－1＝0均有3个实根，无法比较大小，故正确的命题有①②④.
答案：①②④
40