误时，才能检测出来。而图中所示的行和列恰好都有偶数个错误，故检测不出来。
8-2．在题表8-2中给出了字母D、E、F的7比特ASCII码表示，假定分别用偶校验、水平偶校验、二维偶校验，假定从低位开始发送请分别求出传输DEF时的发送序列。
表8-2 D、E、F的ASCII码表示 D E F b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 解：水平偶校验：传输DEF时的发送序列为00100010 10100011 01100011；
二维偶校验：传输DEF时的发送序列为00100010 10100011 01100011 11100010。
8-3．已知码集合中有4个码字分别为（11100），（01001），（10010），（00111）。 （1） 计算此码的最小码距dmin。
（2） 若码字是等概率分布，计算此码的编码效率η。
（3） 若根据最大似然准则译码，请问接收码序列（10000），（01100）和（00100）应
译成什么码字？
（4） 此码能纠正几位码元的错误？ 解：（1）分别对（11100），（01001），（10010）和（00111）两两求码距，可以得到码距只有3和4，因此最小码距dmin=3；
（2）此码的编码效率η＝2/5＝0.4
（3）根据码距与纠错能力的关系可知，可以纠正一位错，因此根据最大似然准则译码，（10000），（01100）和（00101）可分别译成（10010），（11100）和（00111）
（5） 根据码距与纠错能力的关系可知，能纠1位错。
8-4．假定汉明码的码长n为15，请问其监督位r应为多少？编码效率为多少？并写出监督码元与信息码元之间的关系。
r解：码长n和监督码元个数r之间的关系式为n?2?1?15，因此r?4；编码效率
η?kn?r11?? nn15因为监督位r?4，所以有4个监督关系式。现用S1、S2、S3、S4表示4个监督关系式
中的校正子，则可假设校正子S1、S2、S3、S4的值与错码位置的对应关系如下：
S1 S2 S3 S4 0001 0010 0100 1000 0011 0101 0110 0111 错码位置 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 S1 S2 S3 S4 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 错码位置 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 无错码 根据S1、S2、S3、S4的值与错码位置的对应关系，可得到
S1?a3?a8?a9?a10?a11?a12?a13?a14S2?a2?a5?a6?a7?a11?a12?a13?a14S3?a1?a4?a6?a7?a9?a10?a13?a14S4?a0?a4?a5?a7?a8?a10?a12?a14令S1S2S3S4＝0000，可解得监督码元和信息码元之间的关系：
a3??a8?a9?a10?a11?a12?a13?a14a2??a5?a6?a7?a11?a12?a13?a14a1??a4?a6?a7?a9?a10?a13?a14a0??a4?a5?a7?a8?a10?a12?a14
8-5．已知（7，3）码的生成矩阵为
?1001110??
G??0100111????0011101??（1）
（2） （3） （4）
列出该码的所有码字； 求出此码的监督矩阵H；
计算当接收码字为（1101101）时的校正子，并判断该码字是否正确？ 这种码的检、纠错能力如何？
解：（1）已知n?7，k?3，所以r?4，因此该码组的许用码字A?(a6,a5,a4)?G，列出所有许用码字如下：0000000，0011101，0100111，0111010，1001110，1010011，1101001，1110100；
（2）已知生成矩阵G为典型阵，有
?101??1011000??1110??111??1110100???T? Q??0111?，P?Q???，因此监督矩阵H为：H??P,Ir????110??1100010????????1101??011??0110001??1110??0111????1101???TT（3）校正子S?BH?(1101101)?1000???0100?，S正好是H中的第五列，因此错误
?0100???0010???0001???图样E??0000100?，因此该码字不正确，并且可以纠正为?1101001?
8-6．已知（7，4）循环码的全部码字为0000000 0001011 0010110 0011101 0100111 0101100 0110001 0111010 1000101 1001110 1010011 1011000 1100010 1101001 1110100 1111111，请写出该码的生成多项式g(x)、生成矩阵多项式G(x)和生成矩阵G，并将G化成典型阵。
解：生成多项式g(x)是一个常数项为1的n?k次多项式，而且是x?1的一个因子，而且是循环码中的一个码字，此题中，n?7，k?4，
nx7?1?(x?1)(x3?x?1)(x3?x2?1)，这样可以从循环码中找到g(x)?x3?x?1；
643?x3g(x)??x?x?x??1011000????2??0101100?532x?x?xxg(x)?，生成矩阵G??????，将G生成矩阵多项式G(x)???xg(x)??x4?x2?x??0010110???????30001011????g(x)????x?x?1???1000101??0101100??，化成典型阵，进行以下步骤：（a）将G的③行+④加到第①行，变成?（b）
?0010110????0001011??1000101??0100111?? ???0010110???0001011??25810在此基础上再将④行加到第②行，得到G典型8-7．（15，5）循环码的生成多项式如下：g(x)?1?x?x?x?x?x。 （1） 画出该码的编码器框图；
（2） 求出消息m(x)?1?x?x的码多项式。 解：（1）略；（2）T(x)?x其中，r(x)是xn?k24n?km(x)?r(x)
m(x)/g(x)的余式
xn?km(x)x10(x4?x?1)x7?x5?x42 ＝10?x?x?x?10852852g(x)x?x?x?x?x?1x?x?x?x?x?1所以余式r(x)?x?x?x 则T(x)?xn?k75m(x)?r(x)?x14?x12?x10?x7?x5?x
8-8．已知（2，1，3）卷积码编码器的输出与信息m1，m2和m3的关系为y1?m1?m2，
y2?m2?m3。
（1） 请画出编码器电路；
（2） 请画出卷积码的码树图、状态图和网格图； （3） 当信息序列为1011时，求它的输出码序列。 解：（3）11010010
8-9．已知（2，1，3）卷积码编码器的输出与信息m1，m2和m3的关系为y1?m1?m2，当接收码序列为1000100000时，试用维特比译码法求解发送信息序列。 y2?m1?m2?m3，
解：
8-10．一个（63，36）BCH码可以纠正5个错误，（7，4）码的9个分组可以纠正9个错误，两种码具有相同的编码效率。
（1）（7，4）码能纠正更多的错误，它是否更强大？请解释。 （2）比较63bit中随机出现5个错误时两种码的性能。
实践项目
1．请查阅有关资料，找出有哪些差错控制编码？并把这些控制编码归类，说明各自的检、纠错能力，编码效率以及应用场合，最后总结成一篇小论文。
2．在数据通信和计算机网络中，CCITT推荐在高级数据链路控制规程HDLC中的帧校验序列FCS中，使用CCITT-16的CRC码，其生成多项式g(x)?x16?x15?x5?1，请（1）设计出CRC编码的硬件线路图，并做成实物，加以验证；（2）用单片机汇编语言或C语言编程实现，并用单片机仿真器进行调试；（3）用VHDL语言加以实现，并在相应的FPGA芯片上进行仿真、调试以及硬件下载。如果实验条件受限，可以选择其中之一来做。
3．请用FPGA来实现（2，1，3）卷积码编码器，要求在相应的FPGA芯片上进行仿真、调试以及硬件下载。