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【解析】由A中的不等式变形得:(x+2)(x-7)≤0, 解得:-2≤x≤7,即A=[-2,7]; ∵B=(m+1,2m-1),且A∪B=A,
∴当B??时,m+1≥2m-1,解得:m≤2, 当B??时,??m?1??2,
2m?1?7?解得:-3≤m≤4;
则实数m的取值范围为(-∞,4].
《集合》全章复习巩固
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
2.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
4.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一:集合的基本概念 1.集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,如1~10内的所有质数,包括2,3,5,7,则3是我们所要研究的对象,它是其中的一个元素,把一些元素组成的总体叫做集合,如上述2,3,5,7就组成了一个集合。
2.元素与集合的关系
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(1)属于: 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A。要注意“∈”的方向,不能把a∈A颠倒过来写.
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a?A。
3.集合中元素的特征
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素; (2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现。 (3)无序性:集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1,2,3}与{3,1,2}是同一个集合。 4.集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类: 有限集:含有有限个元素的集合。 无限集:含有无限个元素的集合。 要点诠释:
把不含有任何元素的集合叫做空集,记作?,空集归入有限集。 要点二:集合间的关系
1.(1)子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A?B,对于任何集合A规定??A。
(2) 如果A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记做
.
两个集合A与B之间的关系如下:
??A?B?A?B且B?AA?B?? ??A?B?ATB??AúB其中记号AúB(或B?A)表示集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)。 2.子集具有以下性质:
(1)A?A,即任何一个集合都是它本身的子集。 (2)如果A?B,B?A,那么A=B。 (3)如果A?B,B?C,那么A?C。 (4)如果ATB,BTC,那么ATC。
3.包含的定义也可以表述成:如果由任一x∈A,可以推出x∈B,那么A?B(或B?A)。 不包含的定义也可以表述成:两个集合A与B,如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素,那么AúB(或B?A)。
4.有限集合的子集个数:
(1)n个元素的集合有2n个子集。
(2)n个元素的集合有2n-1个真子集。 (3)n个元素的集合有2n-1个非空子集。 (4)n个元素的集合有2n-2个非空真子集。
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要点诠释:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.换言之,任何集合至少有一个子集. 要点三:集合的基本运算
1.用定义求两个集合的交集与并集时,要注意“或”“且”的意义,“或”是两个皆可的意思,“且”是两者都有的意思,在使用时不要混淆。
2.用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B,用阴影部分表示A∩B,A∪B,如下图所示。
3.关于交集、并集的有关性质及结论归结如下:
(1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=(B∩A)?A(或B); A∪A=A,A∪?=A,A∪B=(B∪A)?A(或B)。 (2)A
(eUA)??;A(eUA)?U。
(UB)??B);(痧(UB)??B)。; U(AUA)U(A(3)德摩根定律:(痧UA)(4)AB?A?A?B;AB?A?B?A。
4.全集与补集
(1)它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合,则称之为全集。而补集则是在A?U时,由所有不属于A但属于U的元素组成的集合,记作eUA。数学表达式:若A?U,则U中子集A的补集为eUA?{x|x?U且x?A}。
(2)补集与全集的性质 ①痧U(UA)?A
②A?U,eUA?U。 ③eUU??,eU??U。 5.空集的性质
空集的特殊属性,即空集虽空,但空有所用。对任意集合A,有???,??{?};A???;
A??A;??A。
【典型例题】
类型一:集合的含义与表示
例1.选择恰当的方法表示下列集合。
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(1)“mathematics”中字母构成的集合; (2)不等式x?1?0的解集; (3)函数y?2x?4的自变量的取值范围。
【思路点拨】集合的表示有两种形式,我们必须了解每种方法的特点,选择最佳的表达形式。 【解析】(1)?m,a,t,h,e,i,c,s?; (2)x|x2?1?0或? (3)x|y????x?4或?x|x?0?
?【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合,关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。
举一反三:
【变式1】将集合?(x,y)|????x?y?5??表示成列举法,正确的是( )
?2x?y?1?A.{2,3} B.{(2,3)} C.{x=2,y=3} D.(2,3) 【答案】B
【变式2】已知集合A???x,y?
∣x,y为实数,且x2?y2?1?,B???x,y?x,y为实数,且
y?x?,则A?B的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
例2.若含有三个元素的集合可表示为?a,??b?,1?,也可以表示为a2,a?b,0,求a2009?b2009的值。 a???【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。 【答案】?1 【解析】 由?a,??b?,1?,可得a?1且a?0, a???2?a?1,?a?b?1,??2?a??1,?a?1,则有?a?a?b,或?a?a,解得?或?(舍去)
?b?0.?b?0.?b?b??0??0?a?a故a2009?b2009??1
【总结升华】利用集合中元素特性来解题,既要用元素的确定性,又要利用互异性检验解的正确与否,
初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外,本类问题往往涉及分类讨论的数
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