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【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O?{0，|x|，y}可知O?{x,xy,x-y}
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若x-y=0，则x=y，M，N可写为
M={x，x，0}，N={0，|x|，x}
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由M=N可知必有x=|x|，即|x|=|x| ∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
2
?(x?y)?(x2?y2)???(x100?y100)=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，b?R，集合{1,a+b,a}={0,b,b}，则b-a=( ) a【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
b1?{0,,b},0?{1,a+b,a}，又a?0，?a?b=0
ab∴当b=1时，a=-1，?{0，,b}={0,-1,1}
ab当=1时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍) a∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算 例5. 设集合
，C??z|z?3k?2,k?Z?，
D??w|w?6k?1,k?Z?，求AB,AC,BC,BD.
【答案】AB?AC?BC??,BD?D
【解析】先将集合A、B、C、D转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.
集合A??x|x?3k,k?Z?表示3的倍数所组成的集合；
集合B??x|x?3k?1,k?Z?表示除以3余1的整数所组成的集合； 集合C??x|x?3k?2,k?Z?表示除以3余2的整数所组成的集合； 集合D??x|x?6k?1,k?Z?表示除以6余1的整数所组成的集合；
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?AB?AC?BC??,BD?D.
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式】（2014 河南洛阳期中）已知集合M?xy?2?x，N?yy?x2，则M∩N＝（ ） A．? B．?1,1? C．xx?0 D．yy?0
【答案】C
【解析】集合M中的代表元素是x，集合N的代表元素是y，表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={x|x∈R}，N={y|y≥0}，所以M∩N={x|x≥0}，选C．
例6.（2016春 福建期中）已知全集U=R，集合A={x∈R｜x2－3x－4＜0}，B={x∈R｜2a＜x＜4a，a∈R}
（1）当a=1时，求A??????????(eUB)；
（2）若A∪B=A，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）将a=1代入B，求出B，得到B的补集，从而求出其和A的交集即可； （2）根据A、B的包含关系，通过讨论B得到关于a的不等式组，解出即可． 【答案】（1）A(eUB)?{x?R|?1?x?2}；（2）?1?a?0或a≥4 2【解析】A={x∈R｜x2－3x－4＜0}，
（1）当a=1时，B={x∈R｜2＜x＜5}， ∴A(eUB)?{x?R|?1?x?2}
（2）由已知A∪B=A，得B?A；
①当B??时2a≥4+a，即a≥4，满足B?A；
?2a?4?a1?②当B??时?2a??1，即??a?0时，满足B?A；
2?4?a?4?综上所述a的取值范围为?1?a?0或a≥4． 2举一反三：
2
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
22
（2）已知：A={y|y=3x}， B={y|y=-x+4}， 求：A∩B，A∪B；
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（3）已知集合A={-3， a ，1+a}， B={a-3， a+1， 2a-1}， 其中a?R，若A∩B={-3}，求A∪B. 【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R. （3）∵A∩B={-3}，-3?B，则有：
①a-3=-3?a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}?A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3?a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.
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【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.
【集合的运算 377474 例5】
22
【变式2】设集合A={2，a-2a，6}，B={2，2a，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝
2
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a-2a，6｝，
22
则必有a-2a=3，解方程a-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.已知全集U??1,2,3,4,5?,A?x|x2?px?4?0，求CuA.
【思路点拨】CuA隐含了A?U，对于A?U，注意不要忘记A??的情形.
【答案】 当?4?p?4时，CuA=?1,2,3,4,5?；当p??4时，CuA=?1,3,4,5?；当p??5时，CuA=?2,3,5?. 【解析】
当A??时，方程x?px?4?0无实数解. 此时??p?16?0,?4?p?4.CuA=U
当A??时，二次方程x?px?4?0的两个根x1,x2，必须属于U. 因为x1x2?4，所以只可能有下述情形：
当x1?x2?2时，p??4，此时A??2?, CuA=?1,3,4,5?； 当x1?1,x2?4时，p??5，此时A??1,4?, CuA=?2,3,5?. 综上所述，当?4?p?4时，CuA=?1,2,3,4,5?； 当p??4时，CuA=?1,3,4,5?； 当p??5时，CuA=?2,3,5?.
【总结升华】求集合A的补集，只需在全集中剔除集合A的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A的元素不确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】设全集U={x?N+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
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由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用 例8．（2014 北京西城学探诊）已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．
（1）若（A∪B）∩C=?，求实数a的取值范围； （2）若（A∪B）üC，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点． 【答案】（1）a≥3 （2）a≤－4 【解析】
（1）∵A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=?，如图，a≥3；
（2）画数轴同理可得：a≤－4．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ） A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C
【解析】P?｛x︱?1?x?1｝又 PM?P， ∴M?P，∴ ?1?a?1 故选C．
例9. 设集合A?x|x2?4x?0,B?x|x2?2(a?1)x?a2?1?0,a?R.
（1）若AB?B，求a的值； （2）若AB?B，求a的值. 【思路点拨】明确AB?B、AB?B的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B?A和A?B，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B?A中，不要漏掉B??的情况.
【答案】（1）a?1或a??1；（1）2． 【解析】首先化简集合A，得A???4,0?. （1）由A????B?B，则有B?A，可知集合B为?，或为?0?、??4?，或为?0,?4?.
①若B??时，??4(a?1)2?4(a2?1)?0，解得a??1. ②若0?B,代入得a?1?0?a?1或a??1.
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