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（1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的x?A，能推出x?B． （2）当A不是B的子集时，我们记作“A?B(或B?A)”，读作：“A不包含于B”（或“B不包含）． A”
真子集：若集合A?B，存在元素x?B且x?A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系
A?B且B?A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作A?A．
要点二、集合的运算 1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x?A，或x?B}
Venn图表示：
要点诠释：
B,但xA?（1）“x?A，或x?B”包含三种情况：“x?A,但x?B”；“x?A,且xB?”；“x?”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现
一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|x?A，且x?B}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB??．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合. 3.补集
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全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：痧UA；即UA={x|x?U且x?A}；补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集eUA是对给定的集合A和U(A?U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．
（3）eUA表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即eRA）．
4.集合基本运算的一些结论
A?B?A，A?B?B，A?A=A，A??=?，A?B=B?A
A?A?B，B?A?B，A?A=A，A??=A，A?B=B?A
(痧(UA)?A=? UA)?A=U，若A∩B=A，则A?B，反之也成立 若A∪B=B，则A?B，反之也成立
若x?(A∩B)，则x?A且x?B 若x?(A∪B)，则x?A，或x?B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 集合A??a|a?2k,k?N?，集合B??b|b???1?n2??1?(?1)?(n?1),n?N?，那么A,B间的??8?关系是（ ）.
A. AB B. BA C. A=B D.以上都不对 【答案】B
【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，
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?0(n为非负偶数时)，1?n2?即A??0,2,4,6,8,????.集合B中的元素b??.而1?(?1)?(n?1)??1??8(n?1)(n?1)(n为正奇数时)??41(n?1)(n?1)（n为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即n?1,3,5,7,???.由41(n?1)(n?1)依次得0,2,6,12，???，即B??0，2，612，，20，????. 4综上知，BA，应选B.
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合A??x|x?2k?1,k?z?,B??x|x?4l?1,l?z?，则（ ）. A. AB B. BA C. A=B D.AB?Z
【答案】C
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为?，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，
3
b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有2=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，
4
会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有2=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合
n
共有2个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：?和它本身.
举一反三： 【变式1】已知?a,b??A?a,b,c,d,e?，则这样的集合A有 个.
【答案】7个 【变式2】（2016 湛江一模）已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D
【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）} ∴B的子集个数为：23=8个． 故选D．
2222
例3．集合A={x|y=x+1}，B={y|y=x+1}，C={(x,y)|y=x+1}，D={y=x+1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同
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【解析】集合A={x|y=x+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=(??,??)；
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集合B={y|y=x+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=[1,??)；
集合C={(x,y)|y=x+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x+1上的所有点组成的集合；
22
集合D={y=x+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x+1．
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】 设集合M?{(x,y)|y?3x?4}，N?{(x,y)|y??3x?2}，则MA. {?1,1} B. {x??1,y?1} C.(?1,1) D. {(?1,1)} 【答案】D
【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此M2
2
2
2
N?（ ）
N只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B
表示二元等式集合，选项C表示区间(?1,1)（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．
【变式2】 设集合M?{x|y?2x?1,x?Z}，则M与N的关系是（ ） N?{y|y?2x?1,x?Z}，
A. NüM B. MüN C. N?M D. N【答案】A
【解析】集合M表示函数y?2x?1,x?Z的定义域，有M?{整数}；
集合N表示函数y?2x?1,x?Z的值域，有N?{奇数}，故选A.
【集合的概念、表示及关系 377430 例2】
22
【变式3】 设M={x|x=a+1，a?N+}，N={x|x=b-4b+5，b?N+}，则M与N满足( ) A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=?
【答案】B
2
【解析】 当a?N+时，元素x=a+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b?N+时，元素22
x=b-4b+5=(b-2)+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【集合的概念、表示及关系 377430 例3】 例
4
．
已
知
M??
M?{x,xy,x?y},N?{0,x,y},若M=N，则
01000(x?y)?(x2?y2)???(x1?y)= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D
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