1(a?b); (2)a?b?ba?2b2; (3)a?b?a2?ab?b2; 2b(4)a?b?; (5)a?b?|a|b.
a(1)a?b?“?”“?”解 (1),(3)和(5)中的法则都是有理数域Q上的代数运算;其余的法则都
不是.
3.设A?{a,b,c}上的代数运算?适合结合律,交换律,试完成下列表中的计算.
? a a b b c a b c a c c 解 由于?适合交换律,因此我们有
? a b b c a b a b c a c a c c 由于?适合结合律,因此(c?c)?b?c?(c?b)?c?a?c.又因a?b?c,c?b?c,b?b?c,
根据(c?c)?b?c可以断言c?c?b.所以我们有
? a a b b b c c a b a b c a c c 4.在非零实数集R?上普通数的除法运算是否适合结合律、交换律?
答 小学生都知道,数的除法运算不适合结合律和交换律,因此无需举例说明. 5.在实数集R上规定一个代数运算?:a?b?a?2b,问这个代数运算是否适合结合律、交换律?
解 我们有
(1?1)?1?3?1?5,1?(1?1)?1?3?7;1?2?5,2?1?3.
由此可见,这个代数运算不适合结合律和交换律.
5
6.证明定理1.9.
注 定理1.9的内容如下:
(1)设A上的代数运算?适合结合律;B,A到A的代数运算⊙对于?适合左分配律,则对于A中任意n(n?2)个元素a1,a2,?,an,B中任意元素b,都有
b⊙(a1?a2???an)?(b⊙a1)?(b⊙a2)???(b⊙an).
(2)设A上的代数运算?适合结合律;A,B 到A的代数运算?对于?适合右分配律,则对于A中任意n(n?2)个元素a1,a2,?,an,B中任意元素b,都有
(a1?a2???an)?b?(a1?b)?(a2?b)???(an?b).
证明 这里只证明定理1.9(1)成立.
由于⊙对于?适合左分配律,因此b⊙(a1?a2)?(b⊙a1)?(b⊙a2). 假设当n?r(r?2)时有
b⊙(a1?a2???an)?(b⊙a1)?(b⊙a2)???(b⊙an).
当n?r?1时,由于?适合结合律,根据归纳假设,我们有
b⊙(a1?a2???an)?b⊙((a1?a2???ar)?ar?1) ?b⊙(a1?a2???ar)?(b⊙ar?1)
?((b⊙a1)?(b⊙a2)???(b⊙ar))?(b⊙ar?1) ?(b⊙a1)?(b⊙a2)???(b⊙ar)?(b⊙ar?1) ?(b⊙a1)?(b⊙a2)???(b⊙an).
所以对于一切正整数n,有
b⊙(a1?a2???an)?(b⊙a1)?(b⊙a2)???(b⊙an).
7.设A?{o,a,b,c}上的两个代数运算?与⊙由下列运算表给出:
? o o a b a a o b b c c b ⊙ o o o o o a o b c o a b o a b o o o c c c o o a a b b c b o a a o c c c 证明:⊙对于?适合左、右分配律.
证明 事实上,对于任意的x,y,z?A,若x?o或x?a,则
x⊙(y?z)?o?(x⊙y)?(x⊙z);
若x?b或x?c,则
x⊙(y?z)?y?z?(x⊙y)?(x⊙z).
总之,我们有
6
x⊙(y?z)?(x⊙y)?(x⊙z),?x,y,z?A.
这就是说,⊙对于?适合左分配律.
其次,对于任意的x,y,z?A,若y?z,则
(y?z)⊙x?o⊙x?o?(y⊙x)?(z⊙x);
若y?o,则
(y?z)⊙x?z⊙x?(y⊙x)?(z⊙x);
此外,对于任意的x?A,有
(a?b)⊙x?c⊙x?b⊙x?(a⊙x)?(b⊙x), (b?c)⊙x?a⊙x?o?x?x?b⊙?(b⊙x)?(c⊙x), (c?a)⊙x?b⊙x?c⊙x?(c⊙x)?(a⊙x).
这样一来,注意到?适合交换律,可以断言
(y?z)⊙x?(y⊙x)?(z⊙x),?x,y,z?A.
这就是说,⊙对于?适合右分配律.
§1.4 等价关系与集合的分类
1.在集合A?{l|l为平面上的直线}中,规定二元关系～为
l1～l2?l1‖l2.
证明:～是A上的一个等价关系,并确定相应的～等价类.
解 平行线的标准定义是:设a和b是同一平面上的两条直线.若a与b没有公共点,则称a平行于b,记作a‖b.根据这一定义,对于任何直线a,a‖a不成立,从而,同一平面上的直线之间的平行关系不是等价关系.但是,显而易见,本题中,A上关系～具有对称性和传递性.这样一来,如果再补充规定:l～l,?l?A,那么～就是A上的一个等价关系.这时,以l?A为代表的等价类[l]就是由l和该平面上的一切平行于l的直线组成的集合.
2.在非零复数集C?中,规定二元关系～为
a～b?a的辐角?b的辐角.
证明:～是C?上的一个等价关系,并确定相应的～等价类.
解 显而易见,?a,b,c?C?,有
a～a; a～b?b～a;
a～b,b～c?a～c.
所以～是C?上的一个等价关系.以a?C?为代表的等价类[a]就是一切与a具有相同辐角的复数组成的集合,其几何意义就是复平面上以a为端点且经过a的射线.
7
3.设M?{1,2,3,4},在2M中,规定二元关系～为
S～T?|S|?|T|.
证明:～是2M上的一个等价关系,并写出商集2M/～.
解 显而易见,～是2M上的一个等价关系,其理由不必赘述.
2M/～?{[?],[{1}],[{1,2}],[{1,2,3}],[M]},
其中,
[?]?{?},
[{1}]?{{1},{2},{3},{4}},
[{1,2}]?{{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}, [{1,2,3}]?{{1,2,3},{2,3,4},{3,4,1},{4,1,2}}, [M]?{M}.
注 课本中的答案有误.以?为代表的等价类[?]不是?,应是{?}. 4.设M?{1,2,3,4},在2M中,规定二元关系R为
SRT?S?T.
问:R是不是2M上的等价关系,为什么?
答 显然,?R{1},{1}R'?.因此R不具有对称性.所以R不是2M上的等价关系. 5.设Mn(C)表示复数域C上所有n阶矩阵所组成的集合,问下列规定的Mn(C)上的关系Ri是不是等价关系,为什么?若Ri是等价关系,写出各个等价类的代表元.
(1)AR1B??n阶可逆矩阵P,使P?1AP?B. (2)AR2B?A的秩?B的秩.
(3)AR3B?detA?detB(detX表示X的行列式).
解 高等代数中已经指出,R1,R2和R3都是Mn(C)上的等价关系,并且R1?R2;R1称为矩阵之间的等价关系.
对于每一个k?{1,2,?,n},令Ek表示主对角线上前k个元素都是1、其余元素都是
0的n阶矩阵,O表示n阶零矩阵,则
Mn(C)/R1?Mn(C)/R2?{[O],[E1],[E2],?,[En]}.
对于每一个c?C,令C表示主对角线上第1个元素是c、主对角线上其它元素都是1、其余元素都是0的n阶矩阵,则Mn(C)/R3?{[C]|c?C}.
6.设S表示所有n阶实对称矩阵所组成的集合,问下列规定的S上的关系Ri是不是等价关系,为什么? 若Ri是等价关系,写出各个等价类的代表元.
(1)AR1B??n阶可逆矩阵P,使P'AP?B. (2)AR2B??n阶正交矩阵P,使P'AP?B.
解 高等代数中已经指出,R1,R2都是S上的等价关系,R1称为合同关系,R2称为正交合同关系.对于任意的A,B?S,
8